专题1.2 不等式及其应用【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

专题1.2不等式及其应用【八大题型】【新高考专用】【题型1不等式性质的应用】...............................................................................................................................3【题型2利用基本不等式求最值】.......................................................................................................................5【题型3基本不等式中的恒成立、存在性问题】................................................................................................6【题型4一元二次不等式的解法】.......................................................................................................................9【题型5其他不等式的解法】.............................................................................................................................10【题型6由一元二次不等式的解确定参数】......................................................................................................12【题型7一元二次不等式恒成立问题】.............................................................................................................14【题型8一元二次不等式有解问题】.................................................................................................................171、不等式不等式与基本不等式的性质、求解、证明以及应用是每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。【知识点1等式性质与不等式性质】1．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.2．不等式的性质(1)如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即ab⇔ba.(2)如果ab，bc，那么ac.即ab，bc⇒ac.(3)如果ab，那么a＋cb＋c.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc.(5)如果ab，cd，那么a＋cb＋d.(6)如果ab0，cd0，那么acbd.(7)如果ab0，那么anbn(n∈N，n≥2)．【知识点2基本不等式】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式ab≤a＋b2(a0,b0)当且仅当“a=b”时取“=”a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【知识点3一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为∅的条件为a0，Δ≤0.【题型1不等式性质的应用】【例1】（2023·海南海口·海南中学校考二模）设𝑥,𝑦∈𝑅，则“𝑥3且𝑦3”是“𝑥+𝑦6”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】依据“𝑥3且𝑦3”与“𝑥+𝑦6”之间的逻辑关系进行推导即可解决.【解答过程】由𝑥3且𝑦3，可得𝑥+𝑦6,当𝑥=5，𝑦=−1时，满足𝑥+𝑦6，但不满足𝑥3且𝑦3,则“𝑥3且𝑦3”是“𝑥+𝑦6”的充分不必要条件,故选：A.【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（）A．若𝑎𝑐2≥𝑏𝑐2，则𝑎≥𝑏B．若𝑐𝑎𝑐𝑏，则𝑎𝑏C．若𝑎+𝑏0，𝑐−𝑏0，则𝑎𝑐D．若𝑎0，𝑏0，𝑚0，且𝑎𝑏，则𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏【解题思路】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.【解答过程】对于A，当𝑐=0，𝑎=−1，𝑏=2时满足𝑎𝑐2≥𝑏𝑐2，但𝑎𝑏，所以A错误；对于B，当𝑐=−1，𝑎=−2，𝑏=−3时，满足𝑐𝑎𝑐𝑏，但𝑎𝑏，所以B错误；对于C，由不等式的基本性质易知𝑎+𝑐0，当𝑎=−1，𝑏=32，𝑐=2时满足𝑎+𝑏0，𝑐−𝑏0，但𝑎𝑐，所以C错误；对于D，𝑎+𝑚𝑏+𝑚−𝑎𝑏=(𝑎+𝑚)𝑏−𝑎(𝑏+𝑚)(𝑏+𝑚)𝑏=(𝑏−𝑎)𝑚(𝑏+𝑚)𝑏0，所以𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑎𝑏，故D正确．故选：D．【变式1-2】（2023·湖南·模拟预测）已知正实数x，y满足𝑥𝑦，设𝑎=𝑥e𝑥+𝑦，𝑏=𝑦e𝑦+𝑥，𝑐=𝑦e𝑥+𝑥（其中e为自然对数：e≈2.71828⋯），则a，b，c的大小关系是（）A．𝑎𝑐𝑏B．cabC．𝑐𝑏𝑎D．𝑏𝑐𝑎【解题思路】利用作差比较法，结合指数函数的单调性可得答案.【解答过程】因为𝑎=𝑥e𝑥+𝑦，𝑏=𝑦e𝑦+𝑥，𝑐=𝑦e𝑥+𝑥，所以𝑏−𝑐=𝑦(e𝑦−e𝑥)又𝑦𝑥0，e1，所以e𝑦e𝑥，所以𝑏𝑐；又𝑐−𝑎=(𝑥−𝑦)+(𝑦−𝑥)e𝑥=(𝑥−𝑦)(1−e𝑥)，又𝑦𝑥0，e𝑥1，所以𝑐𝑎．综上，𝑎𝑐𝑏．故选：A．【变式1-3】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知𝑎,𝑏,𝑥均为实数，下列不等式恒成立的是（）A．若𝑎𝑏，则𝑎2024𝑏2024B．若𝑎𝑏，则2024𝑎2024𝑏C．若𝑎𝑥2024𝑏𝑥2024，则𝑎𝑏D．若𝑎𝑏，则𝑎𝑥2024𝑏𝑥2024【解题思路】结合特殊值与不等式的性质可求.【解答过程】A，当𝑎=−2,𝑏=1时，(−2)202412024，A错误；B，当𝑎=0时，2024𝑎没意义，B错误；C，由𝑎𝑥2024𝑏𝑥2024，知𝑥20240，所以𝑎𝑏，C正确；D，当𝑥=0时，𝑎𝑥2024𝑏𝑥2024不成立，D错误.故选：C.【题型2利用基本不等式求最值】【例2】（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）设𝑥0，𝑦0，𝑚=2𝑥2+2√2𝑥𝑦+𝑦2𝑥2+𝑦2，则𝑚有（）A．最小值3B．最大值3C．最小值32+√2D．最大值32+√2【解题思路】由基本不等式求出2√2𝑥𝑦=2𝑥⋅√2𝑦≤𝑥2+2𝑦2，从而求出𝑚=2𝑥2+2√2𝑥𝑦+𝑦2𝑥2+𝑦2≤3，得到AD错误，B正确，举出反例得到C错误.【解答过程】𝑥0，𝑦0，故2√2𝑥𝑦=2𝑥⋅√2𝑦≤𝑥2+2𝑦2，故𝑚=2𝑥2+2√2𝑥𝑦+𝑦2𝑥2+𝑦2≤2𝑥2+𝑦2+𝑥2+2𝑦2𝑥2+𝑦2=3，当且仅当𝑥=√2𝑦时成立，AD错误，B正确；当𝑥=0.5,𝑦=1时，𝑚=2×0.52+2√2×0.5+120.25+1=1.5+√21.25=65+45√232+√2，C错误.故选：B．【变式2-1】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数𝑥,𝑦满足𝑥+2𝑦=1，则1𝑥+1+2𝑦+1的最小值为（）A．12+√2B．3+√22C．94D．3415【解题思路】利用基本不等式“1”的妙用求解.【解答过程】由题可得，𝑥+2𝑦=1，则(𝑥+1)+2(𝑦+1)=4，所以1𝑥+1+2𝑦+1=14(1𝑥+1+2𝑦+1)[(𝑥+1)+2(𝑦+1)]=14[5+2(𝑦+1)𝑥+1+2(𝑥+1)𝑦+1]≥14[5+2√2(𝑦+1)𝑥+1⋅2(𝑥+1)𝑦+1]=94，当且仅当2(𝑦+1)𝑥+1=2(𝑥+1)𝑦+1，即𝑥=𝑦=13时，取得等号，故选:C.【变式2-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知𝑎0,𝑏0,2𝑎+𝑏=𝑎𝑏，则2𝑎𝑎−1+𝑏𝑏−2的最小值为（）A．4B．6C．4√2D．3+2√2【解题思路】由已知可得𝑎=𝑏𝑏−2且𝑏2、𝑎1，再由2𝑎𝑎−1+𝑏𝑏−2=3+2𝑎−1+𝑎−1，应用基本不等式求其最小值，注意取值条件.【解答过程】由𝑎0,𝑏0,2𝑎+𝑏=𝑎𝑏，𝑎=𝑏𝑏−20，即𝑏2，易知𝑎1，所以2𝑎𝑎−1+𝑏𝑏−2=2𝑎𝑎−1+𝑎=3+2𝑎−1+𝑎−1≥3+2√2𝑎−1⋅(𝑎−1)=3+2√2，当且仅当𝑎=√2+1