专题03 空间几何与空间向量（解答题10种考法）（精讲）（解析版）

专题03空间几何（解答题10种考法）考法一平行【例1-1】（2023春·河北邯郸）如图，在三棱柱ABCDEF中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.(1)证明：MN∥平面ABED.(2)证明：平面GOH∥平面BCFE.【答案】证明见解析【解析】（1）证明：如图，连接BG.∵M为BC的中点，N为GC的中点，∴MNBG∥.∵BG平面ABED，MN平面ABED，∴MN∥平面ABED.（2）∵G，O分别为DE，DF的中点，∴GOEF∥.∵EF平面BCFE，GO平面BCFE，∴GO∥平面BCFE.∵OFHC∥且OFHC，∴四边形OFCH是平行四边形，∴OHFC∥.∵FC平面BCFE，OH平面BCFE，∴OH∥平面BCFE.又GOOHOI，∴平面GOH∥平面BCFE【例1-2】（2023秋·云南）如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．(1)求证：平面//MNQ平面PAD；(2)求证：//BCl．【答案】证明见解析【解析】（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形，所以//MNPD，//NQAD，又MN平面PAD，PD平面PAD，则//MN平面PAD，同理NQ平面PAD，AD平面PAD，可得//NQ平面PAD，又MNNQN，,MNNQ平面MNQ，所以平面//MNQ平面PAD.（2）因为//BCAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以//BC平面PAD，又BC平面PBC，平面PBC平面PADl，所以//BCl.【例1-3】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心，证明：//GF平面ABC【答案】证明见解析【解析】延长EG交AB于N，连接NC,因为G为△ABE的重心，所以点N为AB的中点，且2EGGN,因为//CMBE,故CMFEBF∽,所以2EFBECFCM,故EFEGCFGN，故//GFNC,而NC平面ABC，GF平面ABC,故//GF平面ABC；【例1-4】（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，12,4ABAA．点2222,,,ABCD分别在棱111,,AABBCC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC，证明：2222BCAD∥【答案】证明见解析；【解析】以C为坐标原点，1,,CDCBCC所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)CCBDA，2222(0,2,1),(0,2,1)BCAD，2222BCAD∥，又2222BCAD，不在同一条直线上，2222BCAD∥.【例1-5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥BACD中，ABBC，DAAC，G为点B在平面ACD上的射影，M为BC的中点．证明：//MG平面ABD.【答案】证明见解析【解析】在平面ACD内，过点G作GNAC于点N，连接MN，GA，∵DAAC，则GN//DA，又∵GN平面ABD，DA平面ABD，∴GN//平面ABD．又∵BG平面ACD，GA平面ACD，GC平面ACD，∴BGGA，BGGC，又∵BABC，BG为公共边，∴RtRtBGABGC≌，∴GAGC，又∵GN为公共边，∴RtRtGNAGNC≌，∴ANCN，N为AC的中点，又∵M为BC的中点，∴MN为CBA△的中位线，//MNAB，又∵MN平面ABD，AB平面ABD，∴MN//平面ABD．又∵MNGNN，MN平面MNG，GN平面MNG，∴平面MNG//平面ABD，又∵MG平面MNG，∴MG//平面ABD．【变式】1．（2023春·浙江金华）在正方体1111ABCDABCD中，MNP、、分别是1ADBD、和1BC的中点，求证(1)//MN1CD(2)//MN平面11CCDD．(3)平面//MNP平面11CCDD．【答案】证明过程见解析【解析】（1）连接AC，因为底面ABCD是正方形，且点N是BD中点，所以ACBDN，即点N也是AC中点，又因为点M是1AD中点，所以由三角形中位线定理可得//MN1CD；（2）由（1）//MN1CD，因为MN平面11CCDD，1CD平面11CCDD，所以//MN平面11CCDD；（3）连接BP，因为MP、分别是1AD和1BC的中点，所以由正方体的性质可知：,//AMBPAMBP，所以四边形ABPM是平行四边形，所以有//MPAB，而//CDAB，所以//MPCD，因为MP平面11CCDD，CD平面11CCDD，所以//MP平面11CCDD，而,,MNMPMMPMN平面MNP，所以平面//MNP平面11CCDD.2．（2023春·新疆省直辖县级单位）如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，2ADDEAB，F为CD的中点，求证：AF∥平面BCE.【答案】证明见详解【解析】因为AB平面ACD，DE平面ACD，则AB∥DE，取CE的中点M，连接,BMMF，因为,MF分别为,CECD的中点，则MF∥DE，且2DEMF，由题意可得：AB∥DE，且2DEAB，则AB∥MF，且ABMF，则ABMF为平行四边形，可得AF∥BM，且AF平面BCE，BM平面BCE，所以AF∥平面BCE.3．（2022春·浙江温州）已知三棱锥PABC中，ABBCCA，3PA，F为AP中点，G为CF中点，E在PB上，3PEBE，求证：GE//平面ABC【答案】证明见解析【解析】连接PG并延长，交CA于点H，取CA的中点O，连接、GOHB，因为G为CF中点，所以//GOFA，12GOFA，所以∽HGOHPA，所以=PHPAGHGO，又F为PA中点，所以2PAFA，所以2=412PHPAFAGHGOFA，因为3PEBE，所以=4PBEB，所以=PHPBGHEB，可得//GEHB，因为GE平面ABC，HB平面ABC，所以//GE平面ABC；4．（2022秋·吉林长春）如图，在正三棱柱111ABCABC-中，1ABAA，点M在11AB上，且112AMMB，N为1BB中点，证明：CN∥平面1MAC【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，分别延长1BB和AM交于点D，设1AMANE，设13ABAAa，因为112AMMB，可得1MBa，由1DMBDAB∽，可得1113DBMBDBAB，即111111++33DBDBDBBBDBa，解得132DBa，又因为N为1BB的中点，可得132NBa，所以3DNa，所以1DNAA，又由1//DNAA，所以四边形1ANDA为平行四边形，所以E为1AN的中点，设11ACACO，因为四边形11ACCA为矩形，所以O为1AC的中点，在1ANC中，由三角形的中位线定理，可得//OENC，又因为CN平面1MAC，OE平面1MAC，所以//CN平面1MAC.考法二垂直【例2-1】（2023秋·海南海口）已知三棱锥PABC中，PC底面ABC，ABBC，,DF分别为AC，PC的中点，DEAP于E．(1)求证：AP平面BDE；(2)求证：平面BDE平面BDF．【答案】证明见解析【解析】（1）∵PC底面ABC，BD底面ABC，∴PCBD；又ABBC，D为AC的中点，∴BDAC，又∵,PCAC平面PAC，PCACC，∴BD平面PAC，PA平面PAC，∴PABD，又DEAP，,BDDE平面BDE，BDDED，∴AP平面BDE；（2）由AP平面BDE知，APDE；又,DF分别为,ACPC的中点，∴DF是PAC△的中位线，∴DF//AP，∴DFDE，即90EDF∠，由BD平面PAC可知，DEBD，DFBD，EDF为平面BDE与平面BDF的二面角，又90EDF∠，∴平面BDE平面BDF．【例2-2】（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，PAPD，//ABCD，CDAD，2CDAB，点E为PC的中点，且BE平面PCD，求证：CD平面PAD【答案】证明见解析【解析】证明：取PD的中点F，连接AF、EF，E、F分别为PC、PD的中点，则//EFCD且12EFCD，又因为//ABCD，12ABCD，所以，//EFAB且EFAB，则四边形ABEF为平行四边形，所以//AFBE．又BE平面PCD，所以，AF平面PCD，CD平面PCD，CDAF，又CDAD，AFAAD，所以CD平面PAD．【例2-3】（2023北京）在平行四边形ABCD中6,4,ABBC过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，AE23.连接EB交AD于点F，如图1，将ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置.如图2.证明：直线AD平面BFP.【答案】证明见解析【解析】证明：图1中，在RtBAE中，6,23,ABAE所以60AEB.所以43BEADE也是直角三角形，222DEADAE33AEDEABAE90AEDEABAEBAEDEADABE90DABABEDABEADBEAD，在图2中，,,,PFADBFADPFBFF所以AD平面BFP.【例2-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥PABC中，PAB，ABC均为等边三角形，4PA，O为AB中点，点D在AC上，满足1AD，且面PAB面ABC．证明：DC面POD．【答案】证明见解析【解析】证明：由条件PAB、ABC为等边三角形，O为AB的中点，则4ABPA，22AOAD，60DAO，由余弦定理得222cos3DOAOADAOADDAO从而在AOD△中，222AOADOD，得AOD△为直角三角形，且ODAD，又面PAB面ABC，面PAB面ABCAB，且POAB，PO面PAB，则由面面垂直的性质定理可得PO面ABC由AD面ABC,所以POAD因此由ADOD，ADPO，ODPOO，,ODPO平面POD，所以AD平面POD，即DC面POD.【变式】1.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，60ADBADC，E为BC的中点，证明：BCDA；【答案】证明见解析；【解析】连接,AEDE，因为E为BC中点，DBDC，所以DEBC①，因为DADBDC，60ADBADC，所以ACD与ABD△均为等边三角形，ACAB，从而AEBC②，由①②，AEDEE，,AEDE平面ADE，所以，BC平面ADE，而AD平面ADE，所以BCDA．2．（2023秋·山东）如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，M为棱1AA的中点，N为棱11AB上的点，且1113ANNB，求证：MNMC.【答案】证明见解析【解析】连接BM，设ABa=，则12aAMMA，14aAN，11ABAMMAAN，又190BAMMAN，∴1BAMMAN.∴1ABMAMN，又90ABMAMB，∴190AMBAMN，即MNMB，又BC平面11AABB，MN平面11AABB，所以BCMN，,,MBBCBMBBC平面MBC，所以MN平面MBC，MC平面MBC，∴MNMC.3．（2023·湖南）如图，在四棱台1111ABCDABCD中，平面11ADDA平面ABCD，底面ABCD为正方形，2AD，11111DDDAAA.求证：1AD平面11CDDC.【答案】证明见解析【解析】证明：因为平面11ADDA平面ABCD，平面11ADDA平面