专题11 计数原理（选填题10种考法）（解析版）

专题11计数原理（选填题10种考法）考法一排队问题【例1】（2023春·重庆沙坪坝）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）．A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法C．5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法【答案】BCD【解析】对A：甲、乙、丙站前排，有33A6种排法，丁、戌站后排，有22A2种排法，共有6212种排法，故A错误；对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有44A24种排法，故B正确；对C：5人站成一排，甲不在两端，共有2343AA12672种排法，故C正确；对D：5人站成一排，有55A120种排法，则甲在最左端，乙不在最右端，共有1333CA3618种排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有1333CA3618种排法；甲在最左端，乙在最右端，共有33A6种排法；则甲不在最左端，乙不在最右端，共有1201818678种排法，故D正确.故选：BCD.【变式】1．（2023秋·高二课时练习）(多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（）A．A与B相邻有48种摆法B．A与C相邻有48种摆法C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法【答案】ABC【解析】对于A选项：产品A与B相邻，把,AB作为一个元素有44A432124种方法，而A，B可交换位置，所以有442A48种摆法.故A选项符合题意.对于B选项：同A选项一样分析可知产品A与C相邻也有48种摆法.故B选项符合题意.对于C选项:当,AB相邻又满足,AC相邻，首先将产品,,ABC捆绑起来作为一个元素并把产品A放在产品B与C之间，注意到产品B与C可互换位置，所以首先排列,,ABC有22A212种摆法，把,,ABC组成的整体作为一个元素和剩下的两个元素,DE进行排列，又有33A3216种摆法，所以A，B相邻又A，C相邻，有3223AA2612种摆法.故C选项符合题意.对于D选项：由A选项可知A与B相邻有48种摆法，由C选项可知A，B相邻又A，C相邻有12种摆法，因此A与B相邻，且A与C不相邻有481236种摆法.故D选项不符合题意.故选：ABC.2．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是（）A．若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种B．若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种C．若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种D．若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种【答案】ACD【解析】对于选项A：因为甲不在正中间，则甲的不同的排列方式有14C4种，剩余的四人全排列，不同的排列方式有44A24种，所以不同的排列方式共有42496种，故A正确；对于选项B：若甲、乙、丙三人互不相邻，则甲、乙、丙三人在首位、中间和末位，则不同的排列方式有33A6种，剩余的2人全排列，不同的排列方式有22A2种，所以不同的排列方式共有6212种，故B错误；对于选项C：若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则有四个间隔空位，若乙、戊不相邻，把乙、戊安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有24A12种；若乙、戊相邻，把两人看成整体安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有2124AC8种；所以不同的排列方式共有12820种，故C正确；对于选项D：若丙和丁相邻，不同的排列方式共有2424AA48种，若甲在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有123223CAA24种，所以甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有482424种，故D正确；故选：ACD.3．（2023春·河北石家庄）（多选）现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A．4个空位全都相邻的坐法有120种B．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C．4个空位均不相邻的坐法有120种D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有840种【答案】AC【解析】对于A，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：55A120种，故A对；对于B，先排4个学生44A，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入由4个学生形成的5个空档中有25A种方法，所以一共有4245480AA种，故B错；对于C，先排4个学生44A，4个空位是一样的，然后将4个空位插入由4个学生形成的5个空档中有45C种，所以一共有4445AC120种，故C对；对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有4245AC240，空位只有两个相邻的有412454ACC720，所以一共有1202407201080种，故D错；故选：AC考法二排数问题【例2】（2023春·江苏泰州）（多选）从1，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（）A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为125B．若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为375C．若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为70D．若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为72【答案】ABD【解析】A选项：若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为35125，故A正确；B选项：若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为353375，故B正确；C选项：若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为35A60，故C错；D选项：若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为1334CA72，故D正确.故选：ABD.【变式】1．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P.故选：D.2．（2023·北京）（多选）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（）A．可以组成300个四位数B．可以组成156个四位偶数C．可以组成96个能被3整除的四位数D．将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310【答案】ABC【解析】A选项，先从1，2，3，4，5五个数字中选出1个放在千位上，有15C5种选择，再从添上0后的剩余5个数中选出4个，放在百位，十位和个位上，有35A60种选择，所以可以组成没有重复数字的四位数个数为560300，A正确；B选项，分两种情况，当个位为0时，从1，2，3，4，5五个数中，选择3个放在千位，百位和十位上，有35A60中选择，当个位不为0时，先从2，4中选择1个放在个位上，有12C2种选择，再考虑千位，从除去0外的剩余4个数中，选择1个放在千位，有14C4种选择，再从添上0后的4个数中，选择2个，和剩余的百位和十位进行全排列，有24A12种选择，故可以组成没有重复数字的四位偶数个数为11224460+CCA6096156，B正确；C选项，能被3整除的四位数，数位上的数字之和要能被整除，先从0，1，2，3，4，5六个数中，选出四个数，数字之和能被3整除的有0,1,2,3；0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5和1,2,4,5；其中0,1,2,3，先考虑千位，从除去0的三个数中，选出1个，有13C3种选择，再考虑剩余的3个数，有33A6种选择，故可以组成的没有重复数字的四位数个数为1863，同理可得0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5，均可以组成的没有重复数字的四位数个数为18，1,2,4,5，能组成没有重复数字的四位数个数为44A24，所以可以组成1842496个能被3整除的四位数，C正确；D选项，若组成的没有重复数字的四位数千位为1，此时剩余的5个数中，选择3个，分别安排在百位，十位和个位，有35A60个，若组成的没有重复数字的四位数千位为2，此时剩余的5个数中，选择3个，分别安排在百位，十位和个位，有35A60个，6080120，故将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个四位数千位为2，若组成的没有重复数字的四位数千位为2，百位为0，此时从剩余的4个数字中选择2个，放在十位和个位，组成的没有重复数字的四位数有24A12个，60127285，同理可得：若组成的没有重复数字的四位数千位为2，百位为1，组成的没有重复数字的四位数有24A12个，72128485，故将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2301，D错误.故选：ABC考法三分组分配问题【例3】（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）（多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（）A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为4154ACC．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333CCACAD．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为3122352533CCCCA【答案】ABD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有54种安排方法，故A错误；对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有2454CA种安排方法，故B错误；对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有1232334333CCACA种安排方法，C正确；对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有312252532222CCCCAA种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有33A种情况，则有31223525332222CCCCAAA种安排方法，D错误；故选：ABD．【变式】1．（2023·全国·模拟预测）某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有（）A．54种B．66种C．90种D．112种【答案】C【解析】由题意知可分为两类：第一类：一个社区3人，剩下两个社区各1人，当李医生、张医生2人都单独安排到一个社区时，有33A6种不同的安排方法；当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有113223CCA24种不同的安排方法；第二类：一个社区1人，剩下两个社区各2人，当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有113233CCA36种不同的安排方法；当李医生、张医生都不单独安排到一个社区时，有113223CCA24种不同的安排方法；综上可知，共有624362490（种），故选：C．2．（2023·湖南岳阳·湖南省平江县第一中学校考模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,ABC三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为（）A．193243B．100243C．23D．59【答案】B【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243种情况，再计算5个人去3