专题04 构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练) (解析版）

专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................2题型一：构造()()nFxxfx或()()nfxFxx(nZ，且0n)型...............2题型二：构造()()nxFxefx或()()nxfxFxe(nZ，且0n)型..............5题型三：构造()()sinFxfxx或()()sinfxFxx型...........................7题型四：构造()()cosFxfxx或()()cosfxFxx型.........................10三、专项训练..................................................11一、必备秘籍1、两个基本还原①])()([)()()()(xgxfxgxfxgxf②])()([)]([)()()()(2xgxfxgxgxfxgxf2、类型一：构造可导积函数①])([)]()([xfexnfxfenxnx高频考点1：])([)]()([xfexfxfexx②])([)]()([1xfxxnfxfxxnn高频考点1：])([)()(xxfxfxfx高频考点2])([)](2)([2xfxxfxfxx③])([)()(nxnxexfexnfxf高频考点1：])([)()(xxexfexfxf④])([)()(1nnxxfxxnfxfx高频考点1：])([)()(2xxfxxfxfx高频考点2])([)(2)(23xxfxxfxfx⑤()sin()cos[()sin]fxxfxxfxx⑥()cos()sin[()cos]fxxfxxfxx序号条件构造函数10)()()()(xgxfxgxf)()()(xgxfxF20)()(xfxf)()(xfexFx30)()(xnfxf)()(xfexFnx40)()(xfxfx)()(xxfxF50)(2)(xfxfx)()(2xfxxF60)()(xnfxfx)()(xfxxFn70cos)(sin)(xxfxxfxxfxFsin)()(80sin)(cos)(xxfxxfxxfxFcos)()(3、类型二：构造可商函数①])([)()(nxnxexfexnfxf高频考点1：])([)()(xxexfexfxf②])([)()(1nnxxfxxnfxfx高频考点1：])([)()(2xxfxxfxfx高频考点2：])([)(2)(23xxfxxfxfx③2()sin()cos()[]sinsinfxxfxxfxxx⑥2()cos()sin()[]coscosfxxfxxfxxx二、典型题型题型一：构造()()nFxxfx或()()nfxFxx(nZ，且0n)型1．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在R上的偶函数fx的导函数为fx，且当0x时，20xfxfx．则（）A．2e24effB．931ffC．4293ffD．2e39eff【答案】D【详解】由当0x时，20xfxfx，得220xfxxfx，设2gxxfx，则220gxxfxxfx，所以2gxxfx在,0上单调递增，又函数fx为偶函数，所以2gxxfx为偶函数，所以2gxxfx在在,0上单调递增，在0,上单调递减，所以e2gg，即22ee22ff，所以2e24eff，A选项错误；31gg，即223311ff，所以931ff，B选项错误；23gg，即222233ff，所以4293ff，C选项错误；e33ggg，即22ee33ff，所以2e39eff，D选项正确；故选：D.2．（2023下·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）若函数yfx满足xfxfx在R上恒成立，且ab，则（）A．afbbfaB．afabfbC．afabfbD．afbbfa【答案】B【详解】解：设gxxfx，则0gxxfxfx，由xfxfx，可知0xfxfx，所以gx在R上是增函数，又ab，所以gagb，即afabfb，故选：B.3．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知定义在R上的函数fx，其导函数为fx，当0x时，0xfxfx，若21af，2bf，142cf，则a，b，c的大小关系是（）A．cbaB．cabC．abcD．bac【答案】D【详解】令()()fxgxx，,00,x，则2()()()xfxfxgxx，∵当0x时，0xfxfx，即0gx，gx在0,单调递减，∴1(2)(1)2ggg，∴(2)(1)12212fff，即1(2)2(1)42fff，∴bac.故选：D.4．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知fx为偶函数，且当0,x时，0fxxfx，其中fx为fx的导数，则不等式11220xfxxfx的解集为．【答案】,1【详解】令函数()()gxxfx，当0,x时，()()()0gxfxxfx，即函数()gx在[0,)上单调递减，由fx为偶函数，得()()()()gxxfxxfxgx，即函数()gx是奇函数，于是()gx在R上单调递减，不等式1122022(1)1(2)(1)xfxxfxxfxxfxgxgx，因此21xx，解得1x，所以原不等式的解集是,1.故答案为：,15．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知fx是定义域为,00,U的偶函数，且20f，当0x时，0xfxfx，则使得0fx成立的x的取值范围是.【答案】,22,【详解】记fxgxx，则2()xfxfxgxx，故当0x，0xfxfx，所以()0gx，因此gx在,0上单调递增，又当,00,x时，fxfxgxgxxx，因此gx为,00,U奇函数，故gx在0,上单调递增，又2202fg，因此当2x和02x时，0gx，当20x和2x时，0gx，因此0fxxgx，即可得2x和2x，故0fx成立的x的取值范围是,22,，故答案为：,22,题型二：构造()()nxFxefx或()()nxfxFxe(nZ，且0n)型1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知定义域为R的函数fx，其导函数为fx，且满足0fxfx，01f，则（）A．e11fB．1efC．1e2fD．11e2ff【答案】C【详解】令xfxgxe，则2eeeexxxxfxfxfxfxgx，因为0fxfx在R上恒成立，所以0gx在R上恒成立，故gx在R上单调递减，10gg，即1010e11eefff，故A不正确；10gg，即010eeff，即1e0eff，故B不正确；102gg，即1021021eeff，即1e2f，故C正确；112gg，即12112eeff，即11e2ff，故D不正确；故选：C2．（2023上·四川内江·高三期末）已知fx是函数fx的导函数，12e2f，其中e是自然对数的底数，对任意xR，恒有20fxfx，则不等式222e0xfx的解集为（）A．,eB．1,2C．1,2D．e,【答案】C【详解】依题意，令函数2()e()xgxfx，xR，求导得2()e[()2()]0xgxfxfx，则函数()gx在R上单调递增，22222e0e()2exxfxfx，而1()2e2f，则211()e()2e22gf，因此有1()()2gxg，解得12x，所以原不等式的解集为1(,)2.故选：C3．（2023下·河南洛阳·高二统考期末）已知fx是定义在R上的函数fx的导函数，对于任意的实数x，都有2exfxfx，当0x时，0fxfx．若211e3afafa，则实数a的取值范围为（）A．11,24B．11,42C．11,,24D．11,,42【答案】B【详解】解：因为2exfxfx，所以eeexxxfxfxfx，令exgxfx，则gxgx，所以gx为偶函数，当0x时，0fxfx，所以e0xgxfxfx，所以函数gx在0,上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知gx在,0上单调递减，因为211e3afafa，所以13e1e3aafafa，所以13gaga，即13aa，即2219aa，即28210aa，则41210aa，解得1142a.故数a的取值范围为：11,42故选：B.4．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在R上的函数fx满足0fxfx，且有33f，则33exfx的解集为.【答案】3,【详解】设exFxfx，则eeexxxFxfxfxfxfx，0fxfx，0Fx，Fx在R上单调递增.又33f，则3333e3eFf.∵33exfx等价于3e3exfx，即3FxF，∴3x，即所求不等式的解集为3,.故答案为：3,.5．（2018上·江西赣州·高三统考期中）函数fx的定义域和值域均为0,，fx的导函数为fx，且满足2fxfxfx，则20182019ff的取值