专题2.6 幂函数（解析版）

2.6幂函数思维导图知识点总结知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x312yxy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象下凸；当0α1时，幂函数的图象上凸．3．当α0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．典型例题分析考向一幂函数的概念例1(1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析幂函数有①⑥两个．(2)已知222()2223mymmxn－＝＋－＋－是幂函数，求m，n的值．考点幂函数的概念题点由幂函数定义求参数值解由题意得m2＋2m－2＝1，2n－3＝0，解得m＝－3，n＝32或m＝1，n＝32.所以m＝－3或1，n＝32.反思感悟判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数．考向二幂函数的图象及应用例2(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P2，14，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．解因为f(x)＝xα的图象过点P2，14，所以f(2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．(2)下列关于函数y＝xα与y＝αxα∈－1，12，2，3的图象正确的是()答案C反思感悟(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．考向三比较幂值的大小例3比较下列各组数的大小．(1)250.5与130.5；(2)－23－1与－35－1；(3)1332与1413.解(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又2513，所以250.5130.5.(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23－35，所以－23－1－35－1.(3)因为13yx在(0，＋∞)上是单调递增的，所以1133321＝1，又14yx在(0，＋∞)上是单调递增的，所以1144131＝1，所以13143213.反思感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．考向四幂函数性质的应用例4已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足33312mmaa的a的取值范围．考点幂函数的性质题点利用幂函数的性质解不等式解因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－90，解得m3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.则原不等式可化为113332.1aa因为13yx在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a，解得23a32或a－1.故a的取值范围是aa－1或23a32.通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．基础题型训练一、单选题1．已知函数()(21)()mfxmxmR是幂函数，则函数()log()2agxxm(0a，且1a)的图象所过定点P的坐标是（）A．(0,2)B．(1,2)C．(2,2)D．(1,2)【答案】A【解析】先由函数是幂函数，求出1m，再由对数函数的特征，即可判断定点坐标.【详解】因为函数()(21)()mfxmxmR是幂函数，所以211m，因此1m，所以()log()2log(1)2aagxxmx，由log(1)0ax可得0x，(0)2g，所以函数()log()2agxxm(0a，且1a)的图象所过定点P的坐标是(0,2).故选：A.2．函数11fxx的单调减区间是（）A．|0xxB．,C．,00,D．,0和0,【答案】D【分析】利用f（x）11x与y1x的图像间的关系及幂函数性质即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）11x的图像是由y1x的图像向下平移一个单位得到的，∴定义域为{x|x≠0}，单调性与y1x的单调性相同，而函数y1x的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），∴函数f（x）11x的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；故选D．【点睛】本题考查函数的单调区间的求法及图像变换，考查了基本初等函数的性质，属于基础题．3．已知幂函数y＝223mmx-(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（）A．1B．0，2C．－1，1，3D．0，1，2【答案】C【分析】由幂函数的图象的性质得到指数小于零，且为偶数，解不等式得m的可能值，然后再进行检验.【详解】∵幂函数y＝223mmx－－(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，3.当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．综上所述，m＝－1，1，3.故选：C.4．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2221()232fxxaxaa，若xR，(1)()fxfx，则实数a的取值范围为（）A．11,66B．66,66C．11,33D．33,33【答案】B【分析】根据函数的解析式，分20xa、222axa和22xa三种情况分类讨论，得出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解.【详解】由题意，当0x时，2221()232fxxaxaa，所以当20xa时，2221()232fxaxaxax；当222axa时，22221()232fxxaaxaa；当22xa时，22221()2332fxxaxaaxa.综上，函数2221()232fxxaxaa，在0x时的解析式等价于222222,0(),23,2xxafxaaxaxaxa.根据奇函数的图像关于原点对称作出函数()fx在R上的大致图像如图所示，观察图像可知，要使xR，(1)()fxfx，则需满足22241aa，解得6666a.故选：B.5．下列比较大小中正确的是（）A．0.50.53223B．112335C．3377(2.1)(2.2)D．44331123【答案】C【分析】利用函数的单调性进行判断即可.【详解】解：对于A选项，因为0.5yx在[0,)上单调递增，所以0.50.523()()32，故A错误，对于B选项，因为1yx在(,0)上单调递减，所以1123()()35，故B错误，对于C选项，37yx为奇函数，且在[0,)上单调递增，所以37yx在(,0)上单调递增，因为333777115(2.2)511，又337752.111，所以3377(2.1)(2.2)，故C正确，对于D选项，43yx在[0,)上是递增函数，又443311()()22，所以443311()()23，所以443311()()23，故D错误.故选：C.6．“1”是“函数()fxx在(0,)上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据幂函数的性质可得：0，然后根据充分、必要条件的判断即可求解.【详解】由函数的性质可得：0，因为由1一定能推出0，但由0不一定能推出1，所以“1”是“函数()fxx在(0,)上单调递增”的充分不必要条件，故选：A.二、多选题7．关于幂函数(,yxR是常数），结论正确的是（）A．幂函数的图象都经过原点0,0B．幂函数图象都经过点1,1C．幂函数图象有可能关于y轴对称D．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【分析】根据幂函数的性质逐一判断.【详解】对于A：幂函数1yx不经过原点0,0，A错误对于B：对于幂函数(,yxR是常数），当1x时，1y，经过点1,1，B正确；对于C：幂函数2yx=的图像关于y轴对称，C正确；对于D：幂函数图象不可能经过第四象限，D正确.故选：BCD.8．已知函数()afxx=的图象经过点1,22，则（）A．()fx的图象经过点（2，4）B．()fx的图象关于原点对称C．()fx在(0,)上单调递减D．()fx在(0,)内的值域为(0,)【答案】BCD【分析】由题意得1()fxx，结合幂函数与反比例函数的图象与性质即可求解【详解】将点1,22代入()afxx=，可得1a，则1()fxx，f（x）的图象不经过点（2，4），A错误；根据反比例函数的图象与性质可得B，C，D正确.故选：BCD三、填空题9．已知幂函数233mymmx在0,上单调递增，则m＝______．【答案】4【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.【详解】由题意可得23310mmm，解得4m故答案为：4.10．已知()fx是奇函数，且当0x时，()eaxfx.若(ln2)8f，则a__________.【答案】-3【分析】当0x时0x，()()axfxfxe代入条件即可得解.【详解】因为()fx是奇函数，且当0x时0x，()()axfxfxe．又因为ln2(0,1)，(ln2)8f，所以ln28ae