第八章 立体几何（综合检测）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用

第八章立体几何章末检测（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．若1,,2a，2,1,2b，且a，b的夹角的余弦值为89，则等于（）A．2B．2C．2或255D．2或255【答案】C【分析】根据8cos,9ababab，解得即可得出答案.【详解】解：因为1,,2a，2,1,2b，所以2248cos,935ababab，解得：2或255.故选：C.2．已知空间两不同直线m、n，两不同平面，，下列命题正确的是（）A．若//m且//n，则//mnB．若m且mn，则//nC．若m且//m，则D．若m不垂直于，且n，则m不垂直于n【答案】C【分析】A选项，m与n可能平行、相交或异面，B选项，有n或//n，C选项，由面面垂直的判定定理可知正确.D选项，m与n有可能垂直.【详解】对于A选项，若//m且//n，则m与n可能平行、相交或异面，故A错误.对于B选项，若m且mn，则n或//n，故B错误.对于C选项，因为//m，所以由线面平行的性质可得内至少存在一条直线n，使得//mn，又m，所以n，由面面垂直的判定定理可知，故C正确.对于D选项，若m不垂直于，且n，m与n有可能垂直，故D错误.故选:C.3．在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为15，圆柱的侧面积为18，则该毡帐的体积为（）A．39πB．18πC．38πD．45π【答案】A【分析】直接利用圆锥侧面积公式以及母线、底面半径和高的关系得到方程组即可解出圆锥底面半径，再利用圆柱侧面积公式即可求圆柱的高，最后再根据相关体积公式即可得到答案.【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面积为15π，所以15πrl，即15rl.因为2224lr，所以联立解得3r（负舍）.因为圆柱的侧面积为18π，所以218πrh，即2318πh，解得3h，所以该毡帐的体积为221π4π39π3rrh.故选：A.4．如图，111ABCABC是直三棱柱，90BCAo，点1D，1F分别是11AB，11AC的中点，若1BCCACC，则1BD与1AF所成角的余弦值是（）A．3010B．12C．3015D．1510【答案】A【分析】以C为原点，建立空间直角坐标系，然后坐标运算即可.【详解】以C为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设12BCCACC，则2,0,0A，0,2,0B，11,1,2D，11,0,2F，可得11,1,2BD，11,0,2AF，111111330cos,1065BDAFBDAFBDAF，此时，1BD与1AF所成角的余弦值是3010.故选：A5．如图，在正四棱台1111ABCDABCD中，112ABAB，E、F分别为棱CD、1CC的中点，则下列结论中一定不成立的是（）A．1//AE平面11BCCBB．1ACBBC．//BF平面11ADDAD．1AEBF【答案】C【分析】利用线面平行的性质可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；取棱1DD的中点G，连接AG、FG，推导出AG、BF相交，可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.【详解】对于A选项，连接1DE，如下图所示：在正四棱台1111ABCDABCD中，112ABAB，则11//CDCD且112CDCD，因为E为CD的中点，则11//CECD且11CECD，所以，四边形11CCDE为平行四边形，则11//DECC，因为1DE平面11BBCC，1CC平面11BBCC，所以，1//DE平面11BBCC，由正四棱台的几何性质可知，四边形1111DCBA为正方形，则1111//BACD，因为11AD平面11BBCC，11BC平面11BBCC，所以，11//AD平面11BBCC，因为1111ADDED，11AD、1DE平面11ADE，则平面11//ADE平面11BBCC，因为1AE平面11ADE，所以，1//AE平面11BBCC，A对；对于B选项，将正四棱台1111ABCDABCD补成正四棱锥PABCD，连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，连接PO，因为PAPC，O为AC的中点，则ACPO，又因为四边形ABCD为正方形，则ACBD，因为POBDO，PO、BD平面PBD，所以，AC平面PBD，因为1BB平面PBD，故1ACBB，B对；对于C选项，取棱1DD的中点G，连接AG、FG，在梯形11CDDC中，11//CDCD且112CDCD，因为F、G分别为1CC、1DD的中点，所以，//FGCD且FGCD，因为//ABCD且ABCD，故//FGAB且FGAB，故四边形ABFG为梯形，且AG、BF为两腰，则AG、BF相交，又因为AG平面11AADD，从而直线BF与平面11AADD有公共点，即BF与平面11AADD不平行，C错；对于D选项，连接1BC，如下图所示：因为11//CDCD，112CDCD，E为CD的中点，则11//CECD且11CECD，因为1111//ABCD且1111ABCD，所以，11//CEAB且11CEAB，故四边形11ABCE为平行四边形，所以，11//BCAE，若1BFAE，则1BFBC，不妨设2BC，111BC，在平面11BCCB内，以点B为坐标原点，BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点1B到直线BC的距离为h，则0,0B、11,2Bh、2,0C、13,2Ch、7,42hF，13,2BCh，7,42hBF，则2121082hBCBF，解得212h，即当点1B到直线BC的距离为212时，1AEBF，D对.故选：C.6．圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2B．3C．2D．1【答案】A【分析】首先根据题意，确定出圆锥的底面圆半径和母线长，从而确定出轴截面的顶角，结合三角形的面积公式可确定其为直角三角形时面积最大.【详解】圆锥的高为1，体积为，则底面圆的半径为3，母线长为2，轴截面的顶角为23，当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大，最大值为12222，故选：A．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关过圆锥定点截面面积的最值问题，正确解题的关键是要明确圆锥轴截面顶角的大小以及三角形面积公式.7．在ABC中，5BC，1AB，tan2ABC，将ABC绕AB旋转至ABP处，使平面ABP平面ABC，则在旋转的过程中，点C的运动轨迹长度至少为（）A．πB．π2C．2πD．3π2【答案】A【分析】根据题意，将三棱锥正方体中，结合条件可得点C的运动轨迹四分之一圆，即可得到结果.【详解】如图所示，将三棱锥PABC放到正方体模型中，因为5BC，1AB，tan2ABC，则正方体的棱长为2，在旋转过程中，C点的轨迹是以D点为圆心，DC为半径的圆的四分之一，其长度为1π22π4.故选：A.8．四棱锥PABCD中，底面ABCD为边长为4的正方形，PBAPBC，PDAD，Q为正方形ABCD内一动点且满足QAQP，若2PD，则三棱锥QPBC的体积的最小值为（）A．3B．83C．43D．2【答案】B【分析】判断三角形全等，从而推出PDCD，通过线面垂直得到AQQD，确定点Q在以AD为直径的半圆上，从而确定当点Q是正方形ABCD的中心时，三棱锥QPBC的体积最小，从而利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】因为,,PBAPBCABCBPBPB，所以PABPCB≌,PAPC,又,ADCDPDPD，所以PADPCD≌，PDCPDA，因为PDAD，所以PDCD，又因为ADCDD，所以PD平面ABCD.PDAQ，又,QAQPQPPDP，所以AQ平面PDQ，AQQD,故点Q在以AD为直径的半圆上，所以当点Q是正方形ABCD的中心时，三棱锥QPBC的体积最小，即三棱锥QPBC的体积的最小值为11184223323PQBCQBCVSPD.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量(2,1,3),(1,3,2),(2,1,),abdx则下列命题中，正确的是（）A．若a⊥c，b⊥c，3c，则(1,1,1)cB．以a，b为邻边的平行四边形的面积是73C．若53x，则a，d之间的夹角为钝角D．若53x，则a，d之间的夹角为锐角【答案】BD【分析】利用空间向量的垂直的坐标表示可判断A，利用平行四边形的面积与向量之间的关系可求面积判断B，根据向量的夹角与数量积之间的关系可判断CD.【详解】选项A，设(,,)cabc，由a⊥c，b⊥c，得230320abcabc，化简得abc，因为3c，所以(1,1,1)c或(1,1,1)c，即A错误；选项B，由2,1,3a，1,3,2b，知2367ab，10a，14b，所以71cos,21414ababab，即π,3ab，所以sin,32ab，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积sin,314732Sabab，即B正确；选项C，若3x，则d2,1,32,1,3a，即a，d共线反向，故C错误；选项D，若53x，则413530adxx，此时a，d之间的夹角为锐角，故D正确，故选:BD.10．如图，在正方体1111ABCDABCD中，P是正方形1111DCBA的中心，E是PC的中点，则以下结论（）A．//PA平面BDEB．平面PAC平面BDEC．PCBDD．异面直线PC与AB所成的角为45【答案】ABC【分析】利用线面平行判定定理即可证得选项A正确；利用面面垂直判定定理即可证得选项B正确；利用线面垂直性质定理即可证得选项C正确；求得异面直线PC与AB所成的角判断选项D.【详解】选项A：设AC与BD交于点O，连接OE，则//OEPA，又OE平面BDE，PA平面BDE，所以//PA平面BDE，故A正确；选项B：连接PO，因为PO平面ABCD，所以POBD，又ACBD，POACO，所以BD平面PAC，又BD平面BDE，所以平面PAC平面BDE，故B正确；选项C：因为BD平面PAC，PC平面PAC，所以PCBD，故C正确；选项D：因为//CDAB，所以异面直线PC与AB所成的角为DCP或其补角，设正方体的棱长为1，连接PD，则1CD，62PCPD，在PCD中，226612262cos626212DCP，所以异面直线PC与AB所成的角不等于45，故D错误．故选：ABC．11．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，底面是边长为2的正三角形，13AA，点M在1BB上，且112BMMB，