您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 素养拓展4 指数、对数、幂值的比较大小(解析版)
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)素养拓展04指数、对数、幂值比较大小(精讲+精练)一、常规思路1.①底数相同,指数不同时,如1xa和2xa,利用指数函数xya的单调性;②指数相同,底数不同,如1ax和2ax利用幂函数ayx单调性比较大小;③底数相同,真数不同,如1logax和2logax利用指数函数logax单调性比较大小;注:除了指对幂函数,其他函数(比如三角函数,对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小。2.底数、指数、真数、三角函数名都不同,寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量,借助“媒介数”进行大小关系的判定.3.通过做差与0的比较来判断两数的大小;通过做商与1的比较来判断两数的大小。二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用𝑥=lne𝑥(𝑥∈R),𝑥=eln𝑥(𝑥0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。常见指数、对数的同构函数有:(1)y=xex与y=xlnx;(2)y=exx与y=xlnx;(3)y=x+ex与y=lnx+x;(4)y=ex−x与y=x−lnx。3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.三、放缩法一、知识点梳理1.lnx⩽x−1(x0);lnx⩾1−1x(x0)2.ex⩾x+1(x∈R);exxlnx(x0);(1−x)ex⩽1(x∈R)3.sinxxtanx(0xπ2)【典例1】设0.4log2a,21log0.3b,0.40.3c,则a,b,c的大小关系为().A.abcB.bacC.acbD.cba【答案】A【分析】根据换底公式可得21log0.4a,由对数函数的性质可得0ab,从而可比较大小.【详解】0.421log2log0.4a,因为2logyx在0,上单调递增,所以222log0.3log0.4log10,所以22110log0.4log0.3,即0ab.又0.40.30,所以abc.故选:A.【典例2】已知2log22aaa,3log33bbb,4log44ccc,则()A.abcB.cabC.cbaD.acb【答案】C【分析】先对等式变形得到lnln22aa,3lnln3bb,lnln44cc,构造lnxfxx,求导得到其单调性,结合ln4ln242,2,4ac,得到4a,2c,由98推出ln3ln232,结合函数单调性求出2eb,从而比较出大小.【详解】由2lnlnln2log2ln222aaaaaa,同理3lnln3bb,lnln44cc,令lnxfxx,21lnxfxx,当ex时,21ln0xfxx,当0ex时,21ln0xfxx,二、题型精讲精练可得函数fx的递减区间为e,,递增区间为0,e,而2e34,又由ln4ln242,2,4ac,可得4a,2c,ln3ln2982ln33ln232,又由e3,3b及fx的单调性,可知2eb,故cba.故选:C.【点睛】关键点点睛:构造函数比较大小是高考热点和难点,结合代数式的特点,选择适当的函数,通过导函数研究出函数的单调性,从而比较出代数式的大小,本题中,变形得到lnln22aa,3lnln3bb,lnln44cc,从而构造lnxfxx,达到比较大小的目的.【典例3】已知1sin3a,0.913b,271log92c,则()A.acbB.abcC.bacD.cab【答案】A【分析】化简得13c,构造函数()sin,0,2πfxxxx,通过导数可证得sin,0,2πxxx,可得ac,而0.91133bc,从而可得答案.【详解】2711lg912lg31log922lg2723lg33c.设()sin,0,2πfxxxx,则有()cos10fxx,()fx单调递减,从而()(0)0fxf,所以sin,0,2πxxx,故11sin33,即ac,而0.91133bc,故有acb.故选:A.【题型训练1-刷真题】一、单选题1.(2022·全国·统考高考真题)设0.110.1e,ln0.99abc,,则()A.abcB.cbaC.cabD.acb【答案】C【分析】构造函数()ln(1)fxxx,导数判断其单调性,由此确定,,abc的大小.【详解】方法一:构造法设()ln(1)(1)fxxxx,因为1()111xfxxx,当(1,0)x时,()0fx,当,()0x时()0fx,所以函数()ln(1)fxxx在(0,)单调递减,在(1,0)上单调递增,所以1()(0)09ff,所以101ln099,故110lnln0.999,即bc,所以1()(0)010ff,所以91ln+01010,故1109e10,所以11011e109,故ab,设()eln(1)(01)xgxxxx,则21e11()+1e11xxxgxxxx,令2()e(1)+1xhxx,2()e(21)xhxxx,当021x时,()0hx,函数2()e(1)+1xhxx单调递减,当211x时,()0hx,函数2()e(1)+1xhxx单调递增,又(0)0h,所以当021x时,()0hx,所以当021x时,()0gx,函数()eln(1)xgxxx单调递增,所以(0.1)(0)0gg,即0.10.1eln0.9,所以ac故选:C.方法二:比较法解:0.10.1ae,0.110.1b,ln(10.1)c,①lnln0.1ln(10.1)ab,令()ln(1),(0,0.1],fxxxx则1()1011xfxxx,故()fx在(0,0.1]上单调递减,可得(0.1)(0)0ff,即lnln0ab,所以ab;②0.10.1ln(10.1)ace,令()ln(1),(0,0.1],xgxxexx则1111'11xxxxxegxxeexx,令()(1)(1)1xkxxxe,所以2()(12)0xkxxxe,所以()kx在(0,0.1]上单调递增,可得()(0)0kxk,即()0gx,所以()gx在(0,0.1]上单调递增,可得(0.1)(0)0gg,即0ac,所以.ac故.cab2.(2021·全国·统考高考真题)设2ln1.01a,ln1.02b,1.041c.则()A.abcB.bcaC.bacD.cab【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定,对于a与c,b与c的大小关系,将0.01换成x,分别构造函数2ln1141fxxx,ln12141gxxx,利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性,结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c,b与c的大小关系.【详解】[方法一]:2ln1.01a2ln1.012ln10.012ln120.010.01ln1.02b,所以ba;下面比较c与,ab的大小关系.记2ln1141fxxx,则00f,214122114114xxfxxxxx,由于2214122xxxxxx所以当0x2时,21410xx,即141xx,()0fx¢,所以fx在0,2上单调递增,所以0.0100ff,即2ln1.011.041,即ac;令ln12141gxxx,则00g,21412221214114xxgxxxxx,由于2214124xxx,在x0时,214120xx,所以0gx,即函数gx在[0,+∞)上单调递减,所以0.0100gg,即ln1.021.041,即bc;综上,bca,故选:B.[方法二]:令21ln1(1)2xfxxx221-01xfxx,即函数()fx在(1,+∞)上单调递减10.0410,ffbc令232ln1(13)4xgxxx21303xxgxx,即函数()gx在(1,3)上单调递增10.0410,ggac综上,bca,故选:B.【点睛】本题考查比较大小问题,难度较大,关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换,构造函数,利用导数研究相应函数的单调性,进而比较大小,这样的问题,凭借近似估计计算往往是无法解决的.3.(2020·全国·统考高考真题)已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】A【分析】由题意可得a、b、0,1c,利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系,由8log5b,得85b,结合5458可得出45b,由13log8c,得138c,结合45138,可得出45c,综合可得出a、b、c的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c,222528log3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg241log5lg5lg522lg5lg25lg5ab,ab;由8log5b,得85b,由5458,得5488b,54b,可得45b;由13log8c,得138c,由45138,得451313c,54c,可得45c.综上所述,abc.故选:A.【点睛】本题考查对数式的大小比较,涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用,考查推理能力,属于中等题.4.(2020·全国·统考高考真题)若2233xyxy,则()A.ln(1)0yxB.ln(1)0yxC.ln||0xyD.ln||0xy【答案】A【分析】将不等式变为2323xxyy,根据23ttft的单调性知xy,以此去判断各个选项中真数与1的大小
本文标题:素养拓展4 指数、对数、幂值的比较大小(解析版)
链接地址:https://www.777doc.com/doc-12821092 .html