素养拓展26 立体几何中的轨迹问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ(0θ90°),圆雉的母线与轴的夹角为090,如图②.(1)当时,截口曲线为椭圆;(2)当时,截口曲线为抛物线;(3)当时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点12,FF.在截口曲线上任取一点P,过点P作圆雉的母线,分别与两球切于点12,QQ.由球的性质可知2112,PQPFPQPF,于是121212PFPFPQPQQQ为定值,这样截口曲线上的任一点P到两个定点12,QQ的距离之和为一、知识点梳理常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点12,FF.在截口曲线上任取一点P,过点P作圆雉的母线,分别与两球切于点12,QQ.由球的性质可知1122,PQPFPQPF,于是121212PFPFPQPQQQ为定值,这样截口曲线上的任一点P到两个定点12,QQ的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线OM且垂直于轴截面OMN的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点F.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记l.在截口曲线上任取一点P,作直线与球相切于点T,连结PT,有PFPT.在母线OM上取点,AB(B为OM与球的切点),使得ABPT.过点P作//PQAB,有点Q在l上,且FQABPF.另一方面,因为平面OMN与垂直,那么l平面OMN,有lAB,所以lPQ.于是截口曲线是以点F为焦点,l为准线的抛物线.1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（）A．3aB．2aC．32aD．22a【答案】D【分析】连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项.【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，则GH∥BA1，HN∥BD，又GH面A1BD，BA1面A1BD，所以//GH面A1BD，同理可证得//NH面A1BD，又GHHNH，∴面A1BD∥面GHN，又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=22a，则点M轨迹的长度是22a.【典例2】在正方体1111ABCDABCD中，Q是正方形11BBCC内的动点，11AQBC，则Q点的轨迹是（）A．点1BB．线段1BCC．线段11BCD．平面11BBCC【答案】B二、题型精讲精练【分析】如图，连接1AC,证明1BC1BQ,又1BC1BC，即得解.【详解】如图，连接1AC,因为111111111111,,,,BCAQBCABAQABAAQAB平面11ABQ,所以1BC平面11ABQ,又1BQ平面11ABQ,所以1BC1BQ,又1BC1BC.所以点Q在线段1BC上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【答案】D【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，求出点P的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA1交A1D1于G，连结PG，由题意可知PE=PG以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，设,,0Pxy，由PE=PG得：2211xy，平方得：2211xy即点P的轨迹是双曲线.故选：D.【典例4】正方体1111ABCDABCD中，M，N分别为AB，11AB的中点，P是边11CD上的一个点（包括端点），Q是平面1PMB上一动点，满足直线MN与直线AN夹角与直线MN与直线NQ的夹角相等，则点Q所在轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：Q点轨迹为以AN为母线，MN为轴，AB为底面直径的圆锥体，及其关于11AB反向对称的锥体与平面1PMB的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q所在轨迹的形状.【详解】由题设，Q点轨迹为以AN为母线，MN为轴，AB为底面直径的圆锥体，及其关于11AB反向对称的锥体与平面1PMB的交线，如下图示：当P是边11CD上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q点轨迹为抛物线；当P是边11CD上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA与小球相切．若15AA，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A．23B．45C．13D．25【答案】A【分析】设21AFx，从而可得15AA，122AAx，23AAx，利用勾股定理可得10x，再由离心率的定义即可求解.【详解】在21RtAAA中，设21AFx，2DAx15AA，122AAx，23AAx，2225(2)(3)xx，10x，∴长轴长12212AAa，6a，624c则离心率23cea.故选：A【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为（）A．62B．62C．4D．51【答案】A【分析】由题意，动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥SABCD的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.【详解】如图，设,ACBD交于O，连接SO，由正四棱锥的性质可得，SO平面ABCD，因为AC平面ABCD，故SOAC.又BDAC，SOBDO，SOBD，平面SBD，故AC平面SBD.由题意，PEAC则动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥SABCD的交线，即如图EFG，则AC平面EFG.由线面垂直的性质可得平面//SBD平面EFG，又由面面平行的性质可得//EGSB，//GFSD，//EFBD，又E是边BC的中点，故,,EGGFEF分别为,,SBCSDCBCD的中位线.由题意222,226BDSBSD，故16622622EGEFGF.即动点P的轨迹的周长为62.故选：A2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱1111ABCDABCD中，1AB，14AA，E为1DD中点，P为正四棱柱表面上一点，且11CPBE，则点P的轨迹的长为（）A．52B．222C．252D．132【答案】A【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点1C垂直于1BE的正四棱柱的截面即可计算作答.【详解】在正四棱柱1111ABCDABCD中，连接1111,BDAC，如图，1111ACBD，1ED平面1111DCBA，因为11AC平面1111DCBA，则111EDAC，又111,BDED平面11EBD，1111EDBDD，则11AC平面11EBD，又1BE平面11EBD，则111CABE，取1CC中点F，连接1,EFBF，在平面11BCCB内过1C作11CGFB，交1BB于G，显然11//EFDC，而11DC平面11BCCB，则EF平面11BCCB，有1CGEF，又1,BFFE平面1BFE，1FEBFF，于是1CG平面1BFE，而1BE平面1BFE，因此11CGBE，因为111,CCAG平面11CGA，1111CACGC，从而1BE平面11CGA，连接1AG，则点P的轨迹为平面11CGA与四棱柱的交线，即11ACG△，因为11111190BCGGCFGCFBFC，即有1111BCGBFC，又1111CBGFCB，于是1111CBGFCB∽，有1111112CBFCBGCB，112BG，所以点P的轨迹长为11111212524AGCGAC.故选：A【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体1111ABCDABCD中，点P满足14AAAP，E，F分别为棱BC，CD的中点，点Q在正方体1111ABCDABCD的表面上运动，满足1//AQ面EFP，则点Q的轨迹所构成的周长为（）A．5373B．237C．7373D．8373【答案】D【分析】作出辅助线，找到点Q的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.【详解】延长,ADAB，交EF的延长线与,HG，连接,PGPH，分别交1BB，1DD于R，T过点1A作1//AKPG交1BB于点K，过点1A作1//ANPH交1DD于点N，因为1AK平面EFP，PG平面EFP，所以1//AK平面EFP，同理可得1//AN平面EFP，因为111AKANA，所以平面//EFP平面1AKN，过点N作1//NMAK交1CC于点M，连接MK，则1//MKAN则平