素养拓展29 立体几何中的结构不良问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展29立体几何中的结构不良问题（精讲+精练）一、空间向量与立体几何的求解公式(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cosθ＝|a·b||a||b|；(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，则直线l与平面α所成的角为θ满足：sinθ＝|cosβ|＝|a·n||a||n|.(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则两面的成角θ满足：cosθ＝cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|；注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定．(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为：|BO→|＝|AB→·n||n|，即向量BO→在法向量n的方向上的投影长.二、几种常见角的取值范围①异面直线成角∈(0，π2]；②二面角∈[0，π]；③线面角∈[0，π2]；④向量夹角∈[0，π]三、平行构造的常用方法①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.四、垂直构造的常用方法①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.五、用向量证明空间中的平行关系(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.六、用向量证明空间中的垂直关系(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.七、点面距常用方法一、知识点梳理①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法【典例1】（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BCCB为正方形，平面11BCCB平面11ABBA，2ABBC，M，N分别为11AB，AC的中点．(1)求证：MN∥平面11BCCB；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：ABMN；条件②：BMMN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取AB的中点为K，连接,MKNK，可证平面//MKN平面11BCCB，从而可证//MN平面11BCCB.（2）选①②均可证明1BB平面ABC，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AB的中点为K，连接,MKNK，由三棱柱111ABCABC-可得四边形11ABBA为平行四边形，而11,BMMABKKA，则1//MKBB，而MK平面11BCCB，1BB平面11BCCB，故//MK平面11BCCB，而,CNNABKKA，则//NKBC，同理可得//NK平面11BCCB，而,,NKMKKNKMK平面MKN，故平面//MKN平面11BCCB，而MN平面MKN，故//MN平面11BCCB，（2）因为侧面11BCCB为正方形，故1CBBB，二、题型精讲精练而CB平面11BCCB，平面11CBBC平面11ABBA，平面11CBBC平面111ABBABB，故CB平面11ABBA，因为//NKBC，故NK平面11ABBA，因为AB平面11ABBA，故NKAB，若选①，则ABMN，而NKAB，NKMNN，故AB平面MNK，而MK平面MNK，故ABMK，所以1ABBB，而1CBBB，CBABB，故1BB平面ABC，故可建立如所示的空间直角坐标系，则0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2BANM，故0,2,0,1,1,0,0,1,2BABNBM，设平面BNM的法向量为,,nxyz，则00nBNnBM，从而020xyyz，取1z，则2,2,1n，设直线AB与平面BNM所成的角为，则42sincos,233nAB.若选②，因为//NKBC，故NK平面11ABBA，而KM平面MKN，故NKKM，而11,1BMBKNK，故1BMNK，而12BBMK，MBMN，故1BBMMKN，所以190BBMMKN，故111ABBB，而1CBBB，CBABB，故1BB平面ABC，故可建立如所示的空间直角坐标系，则0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2BANM，故0,2,0,1,1,0,0,1,2BABNBM，设平面BNM的法向量为,,nxyz，则00nBNnBM，从而020xyyz，取1z，则2,2,1n，设直线AB与平面BNM所成的角为，则42sincos,233nAB.【题型训练-刷模拟】一、解答题1．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E．(1)求证：//EFAD；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小．条件①：2AE；条件②：平面PAD平面ABCD；条件③：PBFD．【答案】(1)证明见解析(2)π3【分析】(1)由底面ABCD是正方形得//ADBC，用线面平行的判定定理证得//AD平面PBC，再用线面平行的性质定理证得//EFAD；(2)若选条件①②，由平面PAD平面ABCD得PAAB，PAAD，由ABCD为正方形得ABAD，即可建立空间直角坐标系，由点的坐标求出向量的坐标，从而求出平面ADFE和平面PCD的法向量，代入夹角公式即可求出平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小；若选条件①③，易证得AD平面PAB，从而证得ADPB，所以PB平面ADFE，从而得到PBAE，又因为2AE，则可说明PAB为等腰直角三角形，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与①②相同的过程求解；若选条件②③，由平面PAD平面ABCD，可证PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD，又由PB平面ADFE，可证PBAE，结合PAAB可得点E为PB的中点，则可得2AE，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与①②相同的过程求解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以//ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以//AD平面PBC，又因为平面ADF与PB交于点E，AD平面ADFE，平面PBC平面,ADFEEF所以//EFAD．（2）选条件①②，则2AE，平面PAD平面ABCD.因为侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD，即2PAAD，PAAD，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PA平面PAD，所以PA平面ABCD，又因为AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD，又由ABCD为正方形得ABAD．以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(0,0,2)P，(2,2,0)C，(2,0,0)B，(0,2,0)D，因为2AE，所以点E为PB的中点，则(1,0,1)E,从而(2,2,2)PC，(0,2,0)AD，(1,0,1)AE，(0,2,2)PDuuur,设平面ADFE的法向量为(,,)nxyz，则0,20,nAExznADy，令1x，可得(1,0,1)n,设平面PCD的法向量为(,,)mabc，则220,2220,mPDbcmPCabc，令1b，可得(0,1,1)m，所以2|||c|||1os,||nmmnmn，则两平面所成的锐二面角为π3．选条件①③，则2AE，PBFD．侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD，即2PAAD，PAAD，因为ADAB，PAABA，且两直线在平面PAB内，可得AD平面PAB，因为PB平面PAB，则ADPB．又因为PBFD，ADFDD，且两直线在平面ADFE内，则PB平面ADFE，因为AE平面,ADFE则PBAE，因为PAAB，所以PAB为等腰三角形，所以点E为PB的中点.又因为2AE，所以PAB为等腰直角三角形，则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下用与①②相同的过程求解．选条件②③，则平面PAD平面ABCD，PBFD．因为侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD，即2PAAD，PAAD，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PA平面PAD，所以PA平面ABCD，又因为AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD，又由ABCD为正方形得ABAD．因为PBFD，ADFDD，且两直线在平面ADFE内，则PB平面ADFE，因为AE平面ADFE，则PBAE，因为PAAB，所以PAB为等腰三角形，所以点E为PB的中点，则2AE.则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下的过程与①②相同．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体1111ABCDABCD中，1112ABADAA，E为1DD的中点.(1)证明：平面EAB平面11EAC；(2)若点F在11EAC内，且1DFBE∥，从下面三个结论中选一个求解.①求直线BF与平面11EAC所成角的正弦值；②求平面FAB与平面EAB所成角的余弦值；③求二面角11ABFAC的余弦值.注：若选择多个结论分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）故以1A为坐标原点，11AB，11AD，1AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系1Axyz，分别求出平面,EAB平面11EAC的法向量12,nn，由120nn，即可证明；（2）选①，分别求出直线BF的方向向量与平面11EAC的法向量，由线面角的向量公式求解即可；选②、③，分别求出两个平面的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）因为1111ABCDABCD是长方体，所以1AA，11AB，11AD两两垂直，故以1A为坐标原点，11AB，11AD，1AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系1Axyz.因为1112ABADAA，所以0,0,2A，1,0,2B，0,1,1E，10,0,0A，11,1,0C.则1,0,0AB，0,1,1AE，111,1,0AC，10,1,1AE.设平面EAB的法向量为1111,,nxyz，则110,0,nABnAE即1110,0,xyz令11y，则10x，11z，得10,1,1n；设平面11EAC的法向量为2222,,nxyz，则211210,0,nACnAE即22220,0,xyyz令21x，则21y，21z，得21,1,1n.因为121212cos,0nnnnnn，所以12nn，故平面EAB平面11E