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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)素养拓展20累加、累乘、构造法求数列通项公式(精讲+精练)一、累加法形如1()nnaafn型的递推数列(其中()fn是关于n的函数)可构造:11221(1)(2)(1)...nnnnaafnaafnaaf将上述2m个式子两边分别相加,可得:1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan①若()fn是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;②若()fn是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;③若()fn是关于n的二次函数,累加后可分组求和;④若()fn是关于n的分式函数,累加后可裂项求和.二、累乘法形如1()nnaafn1()nnafna型的递推数列(其中()fn是关于n的函数)可构造:11221(1)(2)(1)...nnnnafnaafnaafa将上述2m个式子两边分别相乘,可得:1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan三、构造法1.第一种形式:形如1nnapaq(其中,pq均为常数且0p)型的递推式(1)若1p时,数列{na}为等差数列;(2)若0q时,数列{na}为等比数列;(3)若1p且0q时,数列{na}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种:法一:设1()nnapa,展开移项整理得1(1)nnapap,与题设1nnapaq比较系数(待定一、知识点梳理系数法)得1,(0)()111nnqqqpapappp1()11nnqqapapp,即1nqap构成以11qap为首项,以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1nqap的通项整理可得.na法二:由1nnapaq得1(2)nnapaqn两式相减并整理得11,nnnnaapaa即1nnaa构成以21aa为首项,以p为公比的等比数列.求出1nnaa的通项再转化为累加法便可求出.na2.第二种形式:形如1()nnapafn(1)p型的递推式(1)当()fn为一次函数类型(即等差数列)时:法一:设1(1)nnaAnBpaAnB,通过待定系数法确定、AB的值,转化成以1aAB为首项,以!!mnnAnm为公比的等比数列naAnB,再利用等比数列的通项公式求出naAnB的通项整理可得.na法二:当()fn的公差为d时,由递推式得:1()nnapafn,1(1)nnapafn两式相减得:11()nnnnaapaad,令1nnnbaa得:1nnbpbd转化为第一种形式,求出nb,再用累加法便可求出.na(2)当()fn为指数函数类型(即等比数列)时:法一:设1()(1)nnafnpafn,通过待定系数法确定的值,转化成以1(1)af为首项,以!!mnnAnm为公比的等比数列()nafn,再利用等比数列的通项公式求出()nafn的通项整理可得.na法二:当()fn的公比为q时,由递推式得:1()nnapafn——①,1(1)nnapafn,两边同时乘以q得1(1)nnaqpqaqfn——②,由①②两式相减得11()nnnnaaqpaqa,即11nnnnaqapaqa,在转化为第一种形式便可求出.na法三:递推公式为1nnnapaq(其中p,q均为常数)或1nnnaparq(其中p,q,r均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以1nq,得:111nnnnaapqqqq,引入辅助数列nb(其中nnnabq),得:11nnpbbqq再应用类型第一种形式的方法解决.(3)当()fn为任意数列时,可用通法:在1()nnapafn两边同时除以1np可得到111()nnnnnaafnppp,令nnnabp,则11()nnnfnbbp,在转化为累加法,求出nb之后得nnnapb.【典例1】在数列na中,10a,121(2)nnaann.求na的通项公式.【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果.【详解】因为121(2)nnaann,所以当2n时,21324311nnnaaaaaaaaaa357210n13212nn21n,又10a适合上式,所以21nan.【典例2】已知数列{𝑎𝑛},𝑎1=1,(𝑛+1)𝑎𝑛+1=𝑛𝑎𝑛,求通项公式𝑎𝑛.【答案】𝐚𝐧=1n【分析】由题得1nnaa=1nn,再利用累乘法求解.【详解】∵(𝐧+𝟏)𝐚𝐧+𝟏=𝐧𝐚𝐧,,∴1nnaa=1nn.∴324123123,,,,234aaaaaa1nnaa=1nn(n≥2).以上各式相乘,得11naan.∵𝐚𝐧=11ann(n≥2)又𝐚𝟏=1满足上式,∴𝐚𝐧=1n(n∈N*).【典例3】已知数列na中,12a,且对任意*nN,都有121nnaa.求数列na的通项公式;【分析】(1)构造等比数列求通项;【详解】(1)由121nnaa得1121nnaa又111a,所以数列1na是以1为首项,2为公比的等比数列,所以111122nnna,所以121nna.二、题型精讲精练【题型训练1-刷真题】一、单选题1.(2022·浙江·统考高考真题)已知数列na满足21111,3nnnaaaanN,则()A.100521002aB.100510032aC.100731002aD.100710042a【答案】B【分析】先通过递推关系式确定na除去1a,其他项都在0,1范围内,再利用递推公式变形得到1111133nnnaaa,累加可求出11(2)3nna,得出1001003a,再利用11111111333132nnnaaann,累加可求出111111113323nnan,再次放缩可得出10051002a.【详解】∵11a,易得220,13a,依次类推可得0,1na由题意,1113nnnaaa,即1131133nnnnnaaaaa,∴1111133nnnaaa,即211113aa,321113aa,431113aa,…,1111,(2)3nnnaa,累加可得11113nna,即11(2),(2)3nnna,∴3,22nann,即100134a,100100100334a,又11111111,(2)333132nnnnaaann,∴211111132aa,321111133aa,431111134aa,…,111111,(3)3nnnaan,累加可得11111111,(3)3323nnnan,∴100111111111333349639323100326a,即100140a,∴100140a,即10051002a;综上:100510032a.故选:B.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.2.(2021·浙江·统考高考真题)已知数列na满足111,N1nnnaaana.记数列na的前n项和为nS,则()A.100332SB.10034SC.100942SD.100952S【答案】A【分析】显然可知,10032S,利用倒数法得到2111111124nnnnaaaa,再放缩可得11112nnaa,由累加法可得24(1)nan,进而由11nnnaaa局部放缩可得113nnanan,然后利用累乘法求得6(1)(2)nann,最后根据裂项相消法即可得到1003S,从而得解.【详解】因为111,N1nnnaaana,所以0na,10032S.由211111111241nnnnnnnaaaaaaa21111111122nnnnaaaa,即11112nnaa根据累加法可得,111122nnna,当且仅当1n时取等号,12412(1)3111nnnnnnaanaaannan113nnanan,由累乘法可得6(1)(2)nann,当且仅当1n时取等号,由裂项求和法得:所以10011111111116632334451011022102S,即100332S.故选:A.【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到1,nnaa的不等关系,再由累加法可求得24(1)nan,由题目条件可知要证100S小于某数,从而通过局部放缩得到1,nnaa的不等关系,改变不等式的方向得到6(1)(2)nann,最后由裂项相消法求得1003S.二、解答题3.(2022·全国·统考高考真题)记nS为数列na的前n项和,已知11,nnSaa是公差为13的等差数列.(1)求na的通项公式;(2)证明:121112naaa.【答案】(1)12nnna(2)见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得121133nnSnna,得到23nnnaS,利用和与项的关系得到当2n时,112133nnnnnnanaaSS,进而得:111nnanan,利用累乘法求得12nnna,检验对于1n也成立,得到na的通项公式12nnna;(2)由(1)的结论,利用裂项求和法得到121111211naaan,进而证得.【详解】(1)∵11a,∴111Sa,∴111Sa,又∵nnSa是公差为13的等差数列,∴121133nnSnna,∴23nnnaS,∴当2n时,1113nnnaS,∴112133nnnnnnanaaSS,整理得:111nnnana,即111nnanan,∴31211221nnnnnaaaaaaaaaa1341112212nnnnnn,显然对于1n也成立,∴na的通项公式12nnna;(2)12112,11nannnn∴12111naaa1111112121222311nnn【题型训练2-刷模拟】1.累加法一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)数列na满足11a,且11()nnaannN,则数列na的通项公式为()A.(1)2nnnaB.212nnaC.(-1)2nnnaD.2nann【答案】A【分析】根据11nnaan,利用累加法结合等
本文标题:素养拓展20 累加、累乘、构造法求数列通项公式(解析版)
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