素养拓展2 不等式中的恒成立问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展02不等式中的恒成立问题（精讲+精练）1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！设函数()fx的值域为(,)ab或[,]ab，或(,]ab或[,)ab中之一种，则①若()fx恒成立（即()fx无解），则max[()]fx；②若()fx恒成立（即()fx无解），则min[()]fx；③若()fx有解（即存在x使得()fx成立），则min[()]fx；④若()fx有解（即存在x使得()fx成立），则max[()]fx；⑤若()fx有解（即()fx无解），则{|()}yyfx；⑥若()fx无解（即()fx有解），则{|()}uCyyfx．【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）2.分离参数的方法①常规法分离参数：如()()()()gxfxgxfx；②倒数法分离参数：如1()()()()fxfxgxgx；【当()fx的值有可能取到，而()gx的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】③讨论法分离参数：如:(),()0()()()(),()0()fxgxgxgxfxfxgxgx*(),(1)()()(),nfnnfnnNfnn为正偶数为正奇数④整体法分离参数：如2()fx；一、知识点梳理⑤不完全分离参数法：如2lnbxxxx；⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．【注意】（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】3.其他恒成立类型一①()fx在[,]ab上是增函数，则'()0fx恒成立．(等号不能漏掉)．②()fx在[,]ab上是减函数，则'()0fx恒成立．(等号不能漏掉)．③()fx在[,]ab上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)4.其他恒成立类型二①12,xAxB，使得方程21()()gxfx成立{|(),}{|(),}yyfxxAyygxxB．②12,xAxB，使得方程21()()gxfx成{|(),}{|(),}yyfxxAyygxxB．5.其他恒成立类型三①12,xAxB，121min2max()()()()fxgxfxgx；②12,xAxB，121min2min()()()()fxgxfxgx；③12,xAxB，121max2max()()()()fxgxfxgx；④12,xAxB，121max2min()()()()fxgxfxgx．【方法】处理1()fx时，把1()gx当常数；处理1()gx时，把1()fx当常数．思考：12()()0fxgx对12,xx的四种取值情形；或,()()xAfxgx；或,()()xAfxgx等又如何处理呢？【同理！】1.基本不等式恒成立问题一、单选题二、题型精讲精练1．（2023·全国·高三专题练习）当2x时，不等式12xax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．,2B．2,C．4,D．,4【答案】D【分析】利用基本不等式可求得12xx的最小值，由此可得a的范围.【详解】当2x时，111222224222xxxxxx（当且仅当3x时取等号），4a，即a的取值范围为,4.故选：D.2．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线2:ln3Cyxxax上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若32，则实数a的取值范围是（）A．23,0B．22,0C．,23D．,22【答案】D【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.【详解】因为2ln3yxxax，所以123yxax，因为曲线在M处的切线的倾斜角ππ,32，所以πtan33y对于任意的0x恒成立，即1233xax对任意0x恒成立，即12axx，又1222xx，当且仅当12xx，即22x时，等号成立，故22a，所以a的取值范围是,22．故选：D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知0,0xy且141xy，若28xymm恒成立，则实数m的取值范围是（）A．1|2xxB．|3xx}C．|1xxD．|91xx【答案】D【分析】根据基本不等式可取xy的最小值，从而可求实数m的取值范围.【详解】∵0,0xy，且141xy，∴1444()()5259yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当3,6xy时取等号，∴min()9xy，由28xymm恒成立可得2min8()9mmxy，解得：91m，故选：D.4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数xy、满足0xyxy，且0xy，若不等式490xyt恒成立，则实数t的最大值为（）A．9B．12C．16D．25【答案】D【分析】由0xyxy得到111xy，从而利用基本不等式“1”的妙用求出49xy的最小值，从而得到25t.【详解】因为0xyxy，所以111xy，11949449491313225yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当94yxxy，即5523xy，时，等号成立．因不等式490xyt恒成立，只需min49xyt，因此25t，故实数t的最大值为25．故选：D5．（2023·全国·高三专题练习）当02,xa不等式221112xax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．2,B．02，C．0,2D．2,【答案】B【分析】利用基本不等式求出22min112xax，将恒成立问题转化为22min1112xax，然后解不等式即可.【详解】221112xax恒成立，即22min1112xax02,20xaax，又2222221112222(2)(2)(2)(22)xaxxaxxaxxaxa，上述两个不等式中，等号均在2xax时取到，m222in1122xaax，212a，解得22a且0a，又0a，实数a的取值范围是02，.故选：B.6．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数,ab满足3ab，若55abab恒成立，则实数的取值范围为（）A．81,2B．27,4C．81,4D．27,2【答案】B【分析】由题意可得44abba，然后求出44abba的最小值即可，而3ab，所以44443ababbaabba，化简后利用基本不等式可求得其最小值.【详解】依题意，44abba，因为正数,ab满足3ab，所以4455444433ababababbaabbaba554444222233ababababba2224()273124abab，当且仅当ab，即33,22ab时两个等号同时成立，所以的取值范围为27,4.故选：B7．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数,xy满足141xy，且不等式234yxmm恒成立，则实数m的取值范围（）A．4,1B．,14,C．1,4D．,14,【答案】C【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得4yx的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数m的取值范围.【详解】正实数,xy满足141xy，则1444112244444yyxyxyxxxyyxyx，当且仅当44xyyx，即4yx且141xy时，等号成立，则2,8xy时，4yx取到最小值4，要使不等式234yxmm恒成立，即234mm，解得14m，所以实数m的取值范围是1,4.故选：C.8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数a，b满足111ab，若不等式222022baabmab恒成立，则m的最大值为（）A．94B．32C．2D．3104【答案】B【分析】结合条件，由222022baabmab可得22222baabmab，然后由22222aabb可得答案.【详解】因为111ab，所以abab，所以由222022baabmab可得2222222222babaababmabab，因为222042aababb，所以22222aabb，所以222322222babaabababab，所以32m，当且仅当3a，32b时取等号，故选：B．9．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足3ab，若55abab恒成立，则实数的取值范围为（）A．81,2B．27,4C．81,4D．27,2【答案】D【分析】先参变分离得44abba，再利用13ab，与44abba相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.【详解】依题意，44abba．又3ab，而44554444()33ababababbaabbaba22222554422244222222=3333abababababababba2224222()27=3124ababab，当且仅当ab，即32a，32b时，前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为27,4故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数,xy满足1,12xy，不等式224121xymyx恒成立，则m的最大值为（）A．8B．16C．22D．42【答案】A【分析】设1,21ybxa，求出,xy的值，代入224121xyyx中化简，利用基本不等式求出结果.【详解】设1,21ybxa，则110,102ybbxaa所以222211111422121ababababxyyxbaabab1122222228abababababababab当且仅当1ab即2,1xy时取等号所以224121xyyx的最小值是8，则m的最大值为8.故选A【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设1,21ybxa，得出110,102ybbxaa进行代换，属于偏难题目.二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式110