素养拓展18 解三角形中的结构不良问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展18解三角形中的结构不良问题（精讲+精练）一、“结构不良问题”的解题策略（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、“边化角”或“角化边”的变换策略（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．【典例1】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2bCac(1)求角B；(2)在①ABC的外接圆的面积为16π3，②ABC的周长为12，③4b，这三个条件中任选一个，求ABC的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.二、题型精讲精练一、知识点梳理【分析】（1）由已知，根据给的2cos2bCac，先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，然后再利用sinsin()ABC,把sinA换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角B的取值范围，即可完成求解；（2）由已知，根据第（1）问计算出的角B，若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R，然后根据角B利用正弦定理计算出边长b，然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值，即可完成面积最值得求解；若选②，利用12abc，表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.【详解】（1）∵2cos2bCac∴2sincos2sinsinBCAC∴2sincos2sin()sinBCBCC2sincos2sincos2cossinsinBCBCBCC，∴2cossinsinBCC∵0,C∴sin0C∴1cos2B∵0,B，∴3B（2）若选①，设ABC的外接圆半径为R，则216ππ3R，∴43R∴432sinB2423bR由余弦定理，得：2222cosBbacac即22162acacacacac，当且仅当ac时，等号成立.即ABC的面积的最大值为43若选②∵12abc，∴12()bac由余弦定理222bacaccosB，222[12()]acacac8()48acac，又22acac∴28()4802acac∴24ac（舍）或8ac，当且仅当ac时等号成立∴2133SsinB432442acacac，当且仅当ac时等号成立若选③，由余弦定理，得：2222cosbacacB即22162acacacacac，当且仅当ac时，等号成立.∴113sin1643222ABCSacB即ABC的面积的最大值为43【题型训练1-刷真题】一、解答题1．（2023·北京·统考高考真题）设函数π()sincoscossin0,||2fxxx．(1)若3(0)2f，求的值．(2)已知()fx在区间π2π,33上单调递增，2π13f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()fx存在，求,的值．条件①：π23f；条件②：π13f；条件③：()fx在区间ππ,23上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3.(2)条件①不能使函数()fx存在；条件②或条件③可解得1，π6.【分析】（1）把0x代入()fx的解析式求出sin，再由π||2即可求出的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()fx的解析式化简，根据()fx在π2π,33上的单调性及函数的最值可求出T，从而求出的值；把的值代入()fx的解析式，由π13f和π||2即可求出的值；若选条件③：由()fx的单调性可知()fx在π3x处取得最小值1，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【详解】（1）因为π()sincoscossin,0,||2fxxx所以3(0)sin0coscos0sinsin2f，因为π||2，所以π3.（2）因为π()sincoscossin,0,||2fxxx，所以π()sin,0,||2fxx，所以()fx的最大值为1，最小值为1.若选条件①：因为()sinfxx的最大值为1，最小值为1，所以π23f无解，故条件①不能使函数()fx存在；若选条件②：因为()fx在π2π,33上单调递增，且2π13f，π13f所以2πππ233T,所以2πT,2π1T,所以()sinfxx，又因为π13f，所以πsin13，所以ππ2π,Z32kk，所以π2π,Z6kk，因为||2，所以π6.所以1，π6；若选条件③：因为()fx在π2π,33上单调递增，在ππ,23上单调递减，所以()fx在π3x处取得最小值1，即π13f.以下与条件②相同．2．（2021·北京·统考高考真题）在ABC中，2coscbB，23C．（1）求B；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．条件①：2cb；条件②：ABC的周长为423；条件③：ABC的面积为334；【答案】（1）6；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）2coscbB，则由正弦定理可得sin2sincosCBB，23sin2sin32B，23C，0,3B，220,3B，23B，解得6B；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB，与2cb矛盾，故这样的ABC不存在；若选择②：由（1）可得6A，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2sin6abRR，22sin33cRR，则周长23423abcRR，解得2R，则2,23ac，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：222312231cos76；若选择③：由（1）可得6A，即ab，则211333sin2224ABCSabCa，解得3a，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb.【题型训练2-刷模拟】一、解答题1．（2023·四川·校联考模拟预测）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个条件①3n,2simA，2cos2,2cosnAA，且//mnurr；②sin3cosaBbA；③222coscoscossinsin1CBCAB中任选一个，回答下列问题．(1)求A；(2)若2a，求ABC面积的最大值．【答案】(1)π3A(2)3【分析】（1）条件①：根据向量平行的坐标表示转化sin23cos2AA，求得A；条件②：根据正弦定理转化为sin3cosAA，求得A；条件③：将条件中的余弦转化为正弦，再用正弦定理与余弦定理求得A.（2）根据余弦定理及基本不等式求得ABC面积的最大值．【详解】（1）选择条件①，因为3n,2simA，2cos2,2cosnAA，且mn∥，所以3s22cos202incosAAA，即sin23cos2AA，所以tan23A，由ABC为锐角三角形可知π02A，则02πA，故2π23A，π3A，选择条件②，因为sin3cosaBbA，由正弦定理可得sinsin3sincosABBA，由ABC为锐角三角形可知π02B，所以sin0B，则sin3cosAA，即tan3A，由ABC为锐角三角形可知π02A，故π3A．选择条件③，因为222coscoscossinsin1CBCAB，所以2221sin1sin1sin1sinsinBCABC，即222sinsinsinsinsinBCABC，由正弦定理可得222bcabc，根据余弦定理可得2221cos22bcaAbc，由ABC为锐角三角形可知π02A，故π3A，（2）因为2a，由（1）可得π3A，所以根据余弦定理可得2222π42cos23bcbcbcbcbcbcbc，当且仅当2bc时，等号成立，满足条件．则113sin43222ABCSbcA△，故ABC面积的最大值为3．2．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知函数223sincos2sin102fxxxx.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：条件①：在fx图象上相邻的两个对称中心的距离为π2；条件②：fx的一条对称轴为π6x.(1)求ω；(2)将fx的图象向右平移π3个单位（纵坐标不变），得到函数gx的图象，求函数gx在ππ,33上的值域.【答案】(1)1(2)2,1【分析】（1）由三角函数的恒等变换对()fx进行化简，再分别由条件①②求的值．（2）由三角函数的平移变换得()gx的解析式，再由函数的定义域求值域即可．【详解】（1）223sincos2sin1fxxxx3sin2cos2xxπ2sin(2)6x选①：()fx图象上相邻两个对称中心的距离为π2，则2ππ2T，则1，选②：()fx的一条对称轴为π6x，则πππ2πZ662kk，，31k，又02，则1，于是()2sin26fxx（2）将()2sin(2)6fxx的图象向右移π3个单位长度（纵坐标不变），得到函数πππ()2sin[2()]2sin(2)2cos2362gxxxx的图象ππ[,]33x，2π2π2[,]33x，cos2[,1]12x，()gx的值域为2,1．3．（2023·全国·模拟预测）在①csin3s3oc