素养拓展17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展17解三角形中三角形的中线和角平分线问题（精讲+精练）一、三角形中线问题如图在ABC中，D为CB的中点，2ADACAB，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）二、角平分线问题如图，在ABC中，AD平分BAC，角A,B,C所对的边分别为a，b，c①等面积法ABCABDADCSSS111sinsinsin22222AAABACAABADACAD（常用）②内角平分线定理：ABACBDDC或ABBDACDC③边与面积的比值：ABDADCSABACS【典例1】在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，2,2sin3sin2cbAC.(1)求sinC；(2)若ABC的面积为372，求AB边上的中线CD的长.【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；二、题型精讲精练一、知识点梳理（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出CD，最后利用求模公式即可求AB边上的中线CD的长.【详解】（1）因为2sin3sin2AC，所以2sin6sincosACC，所以26cosacC，即3cosacC，所以cos3aCc，由余弦定理及2cb得：2222222243cos222abcabbabCababab，又cos36aaCcb，所以222232926abaababb，即322ab，所以3222cos664baCbb，所以22214sin1cos144CC.（2）由214374211sin2ABCSabCab===创，所以62ab，由（1）322ab，所以2,32ba，因为CD为AB边上的中线，所以12CDCACB，所以222124CDCACBCACB（通过平方，将向量转化为数量）2212cos4baabC124182232447，所以7CD，所以AB边上的中线CD的长为：7.【典例2】在ABC中.AB＝2，AC＝27，BC＝4，D为AC上一点.(1)若BD为AC边上的中线，求BD；(2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD.【分析】（1）利用余弦定理，先求得cosA，然后求得BD.（2）利用余弦定理，先求得ABC，即可求得ABD、CBD，利用等面积法求得BD.【详解】（1）在ABC中，22227cos27ABACBCAABAC，因为BD为AC边上的中线，所以7AD，在ABD△中，222272cos4722737BDABADABADA，所以3BD（活用两次余弦定理）（2）在ABC中，222416281cos22242ABBCACABCABBC，由于0πABC，所以2π3ABC.因为BD为ABC的角平分线，所以π3ABDCBD.由ABCABDCBDSSS，得111sinsinsin222ABBCABCABBDABDBCBDCBD（等面积法）即131324(24)2222BD，解得43BD.【题型训练-刷模拟】1.中线问题一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知23sinsinsinsin3aAcCaCbB．（1）求B；（2）若AC边上的中线BD的长为2，求ABC面积的最大值．【答案】（1）3B；（2）433.【解析】（1）由正弦定理化角为边，结合余弦定理可得3sincossinsinCBBC，即可求出；（2）由2BABCBD平方可得2216caac，利用基本不等式可得163ac，即可求出面积最值.【详解】解：（1）因为23sinsinsinsin3aAcCaCbB，所以由正弦定理可得2223sin3acaCbb，即22223sin3acbabC．再由余弦定理可得232cossin3acBabC，即3sincossinsinCBBC．因为sin0C，所以tan3B．因为(0,)B，所以3B．（2）因为2BABCBD，所以2222cos4BABCBABCBBD，即2216caac．因为22162acacac，所以163ac，当且仅当433ac时取等，故1116343sin22323△ABCSacB，则ABCS的最大值为433．2．（青海省海东市2023届高三第三次联考数学试题）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且11tantan2coscosBCBC．(1)求角A的值；(2)若2a，求BC边上的中线AD的最大值．【答案】(1)π3(2)3【分析】（1）切化弦后，结合两角和差公式和诱导公式可求得cosA，进而得到A；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得bc范围，根据12ADABAC，平方后，结合向量数量积定义和运算律可求得结果.【详解】（1）112coscossinsin12coscos2coscoscoscosBCBCBCBCBC，2coscossinsin2cos2cosπ2cos1BCBCBCAA，1cos2A，又0,πA，π3A.（2）由余弦定理得：222222cos42abcbcAbcbcbcbcbc（当其仅当2bc时取等号），224bcbc，4bc，12ADABAC，222222211122cos444ADABABACACbcbcAbcbc114248344bc，3AD，即AD的最大值为3.3（2023·全国·高三专题练习）记ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知π2sin22cbBa．(1)求A；(2)若3bc，求BC边中线AM的取值范围．【答案】(1)π3A(2)333,42AM【分析】（1）根据余弦定理求解即可得角；（2）根据中线性质可得12AMABACuuuruuuruuur，在左右两侧平方，应用向量的数量积公式求值即可.【详解】（1）由已知可得2cs2ocaBb，由余弦定理可得222222acbcbaca，整理得222bcabc，由余弦定理可得2221cos22bcaAbc，又0,πA，所以π3A．（2）因为M为BC的中点，所以12AMABACuuuruuuruuur，则222211244AMABACABACABAC，即22221π12cos434AMcbbbcbc．因为3bc，所以2221113279339444216AMbbbbb．所以2279,164AM，所以333,42AM．4．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且23coscos3bcCAa．（1）求角A的值；（2）若,6BBC边上的中线7AM，求ABC的面积．【答案】（1）6A；（2）3．【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简题设中的边角关系可得（2）结合（1）可得ABC为等腰三角形，在ACM△中利用余弦定理可求2CA，从而可求ABC的面积.【详解】（1）由正弦定理可得2sin3sincoscos3sinBCCAA，整理得到2sincos3(sincoscossin)3sinBAACACB，因为0,B，故sin0B，故3cos2A，因为0,A，故6A.（2）因为6A，6B，故23C，故ABC为等腰三角形且ACBC.设ACBCx，则2xCM，由余弦定理可得2222272cos4234xxAMxxx，故772AMx，所以2x，故1322322ABCS△.5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知,,abc为ABC的内角,,ABC所对的边，向量(sinsin,sinsin)mCBBA,(,)ncba，且mn．(1)求C；(2)若2a，ABC的面积为23，且2ADDB，求线段CD的长．【答案】(1)π3C(2)433CD【分析】（1）根据平面向量垂直的坐标表示以及正弦定理、余弦定理可求出C；（2）根据三角形面积公式求出b，根据平面向量运算律可求出结果.【详解】（1）因为mn，所以(sinsin)()(sinsin)0CBcbBAa．由正弦定理，得()()()0cbcbbaa，即222abcab，由余弦定理，得2221cos22abcCab，因为0πC，所以π3C.（2）113sin223222ABCSabCb!，解得4b，因为2ADDB，则1233CDCACB，所以21412148||164224993329CD，433CD.6．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cossinaCbcA.(1)求角A；(2)若AD为BC边上中线，129,52ADAB，求△ABC的面积.【答案】(1)2π3(2)6534【分析】（1）用正弦定理边化角，再用三角恒等变换即可求解；（2）利用coscos0ADBADC，分别在△ABD和△ACD运用余弦定理可得22241580ab，再在△ABC运用余弦定理得22255abb，两式联立即可求得13b，最后直接用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）由正弦定理得3sincossinsinsinAACBC，∴3sincos3sinsinsinACBCA，∴3sincos3sinsinsinACACCA,∴3sincossinsinCAAC，∵sin0C，∴tan3A，又∵0πA,∴2π3A,（2）由已知得ACb，2aBDDC，在△ABD中，由余弦定理得22129252944cos1292129222aaADBaa，在△ACD中，由余弦定理得222212929444cos1292129222ababADCaa，又∵coscos0ADBADC,∴22241580ab，在△ABC中，由余弦定理得22255abb，以上两式消去2a得251040bb,解得13b或8b（舍去），则1sin2ABCSbcBAC6534.7．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，3cossin0acBbC．（1）求角C的大小；（2）若2c，AB边上的中线CD长为3，求ABC的周长．【答案】（1）3；（2）6．【分析】（1）利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简可求得结果；（2）根据12CDCACB两边平方可得2212abba，根据余弦定理可得224abab，联立求出22ab和ab，由此可求出ab，则可得三角形的周长.【详解】（1）因为3cossin0acBbC，所以csin3s3ocbCBa，根据正弦定理得sinsin3sin3sincosBBCCA，所以sinsin3sin3sincosBCCCBB，所以sinsin3sin3sincos3cossincosBCCBCBCB，所