第55讲 二项分布、超几何分布与正态分布（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第55讲二项分布、超几何分布与正态分布（精讲）题型目录一览①两点分布②超几何分布③二项分布④正态分布一、两点分布1.若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1pp其中01p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．其中(1)PX称为成功概率．注意：两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；2.两点分布的均值与方差：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则()10(1)ppEXp，()(1)pDXp．二、n次独立重复试验1.定义一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2.特点（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．三、二项分布1.定义一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，不一、知识点梳理发生的概率1qp，那么事件A恰好发生k次的概率是CkknknPXkpq（0k，1，2，…，n）于是得到X的分布列X01…k…np00Cnnpq111Cnnpq…Ckknknpq…0Cnnnpq由于表中第二行恰好是二项式展开式001110CCCCnnnkknknnnnnnqppqpqpqpq各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作()XBnp～，，并称p为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即1n时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．2.二项分布的适用范围及本质（1）适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．3.二项分布的期望、方差若()XBnp～,，则()EXnp，)(1)(nppDX．四、超几何分布1.定义在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率为()knkMNMnNCCPXkC，0k，1，2，…，m，其中minmMn，，且nN，MN，n，M，*NN，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．X01…mP00nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC2.超几何分布的适用范围件及本质（1）适用范围：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布．X（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．五、正态曲线1.定义：我们把函数22()2,1()e2xx，()x，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2.正态曲线的性质（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x对称；（3）曲线在x处达到峰值（最大值）12；（4）曲线与x轴之间的面积为1；（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示：（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：甲乙六、正态分布1.定义随机变量X落在区间(]ab，的概率为,()d()baPxaXbx，即由正态曲线，过点(0)a，和点(0)b，的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X落在区间(]ab，的概率的近似值．一般地，如果对于任何实数a，()bab，随机变量X满足,()d()baPxaXbx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作2()N，．如果随机变量X服从正态分布，则记为2()XN，．其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2.3原则若2()XN，，则对于任意的实数0a，,()d()aaPaXaxx为下图中阴影部分的面积，对于固定的和a而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，X落在区间(,]aa的概率越大，即X集中在周围的概率越大特别地，有()0.6826PX；(22)0.9544PX；(33)PX0.9974．由(33)PX0.9974，知正态总体几乎总取值于区间(33)，之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布2()N，的随机变量X只取(33)，之间的值，并简称之为3原则．【常用结论】①超几何分布和二项分布的区别（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.②求正态变量x在某区间内取值的概率的基本方法（1）根据题目中给出的条件确定与的值．（2）将待求问题向(]，，(22]，，(33]，这三个区间进行转化；（3）利用x在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．题型一两点分布策略方法两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1【典例1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中二、题型分类精讲奖次数X的分布列．【答案】分布列见解析【分析】先列出随机变量的可能值，然后求出随机变量可能值随对应的概率即可.【详解】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况．14110C421C105PX，则23011155PXPX.因此X的分布列为：X01P3525【题型训练】一、单选题1．已知随机变量X服从两点分布，且10.6PX.设32YX，那么2PY等于（）A．0.6B．0.3C．0.2D．0.4【答案】D【分析】根据变量间的关系，转化为20PYPX，由两点分步求解.【详解】当2Y时，由3220XX，所以201110.60.4PYPXPX.故选：D2．设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则1PX（）A．0B．14C．23D．34【答案】D【分析】根据某项试验的成功率是失败率的3倍，结合101PXPX，即可求得答案.【详解】由已知得X的所有可能取值为0，1，且130PXPX，代入101PXPX，得11113PXPX，所以314PX，故选:D．3．两点分布也叫01分布，已知随机变量X服从参数为0.5的两点分布，则下列选项中不正确的是（）A．00.5PXB．10.5PXC．0.5EXD．0.5DX【答案】D【分析】由两点分布的定义即可判断A、B选项；由期望和方差公式即可判断C、D选项.【详解】由参数为0.5的两点分布知010.5PXPX，故A、B正确；0.500.510.5EX，C正确；220.500.50.510.50.25DX，D错误.故选：D.4．已知随机变量X服从两点分布，0.7EX，则其成功概率为（）A．0B．1C．0.3D．0.7【答案】D【分析】直接利用两点分布的性质，即可得出结论,【详解】随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，0110.7EXppp.故选：D.二、多选题5．若随机变量X服从两点分布，其中103PX，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（）A．1PXEXB．324EXC．324DXD．49DX【答案】AB【分析】根据两点分布求213PX，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解.【详解】由题意可知，213PX，所以12201333EX，2221220133339DX，32324EXEX，3292DXDX故选：AB6．下列选项中的随机变量X服从两点分布的是（）A．抛掷一枚均匀的骰子，所得点数为XB．某运动员罚球命中的概率为0.8，命中得1分，不中得0分，X为罚球一次的得分C．从装有大小完全相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，1,0,X取出白球取出红球D．从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件，X为抽到的次品件数【答案】BCD【分析】根据两点分布的定义，即A事件发生或不发生即可判断.【详解】由两点分布的定义可知：对于A，X=1，2，3，4，5，6，所以不属于两点分布；对于B，X=0，1，属于两点分布；对于C，X=0，1，属于两点分布；对于D，抽取一次，则或为正品或为次品，故X=0，1，属于两点分布；故选：BCD.三、填空题7．已知随机变量X的取值为0，1，若105PX，则X的均值为.【答案】45【分析】X服从两点分布，结合两点分布的均值公式，即可求解.【详解】由题意可得，X服从两点分布，14110155PXPX，故14401555EX.故答案为：45.8．已知随机变量X服从两点分布，且02PXa，1PXa，那么a.【答案】13【分析】根据概率之和为1即可求解.【详解】由题意可知1120aPPXXa，解得13a.故答案为：13.9．已知随机变量X服从两点分布，且202PXa，1PXa，那么a．【答案】12【分析】根据概率之和为1即可求解.【详解】由题意可知2102121PXaaPXa或1a，由于0a，所以12a，故答案为：1210．已知离散型随机变量X服从两点分布，且0341PXPX，则随机变量X的方差为．【答案】29【分析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设10PXp，所以111PXp，由题意可求出113p，所以可求出DX．【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布，设10PXp，所以111PXp，所以，代入0341PXPX有：11341pp，解得：113p，12113PXp，因为离散型随机变量X服从两点分布，所以122=339DX.故答案为：29.四、解答题11．甲击中目标的概率是p，如果击中，得1分，否则得0分．用X表示甲的得分，计算随机变量X的数学期望．【答案】p【分析】先求出X的分布列，从而可求其数学期望.【详解】1X的充分必要条件是击中目标，所以1PXp．0X是1X的对立事件，所以0111PXPXp．于是1100101EXPXPXppp