第52讲 随机事件的概率与古典概型（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第52讲随机事件的概率与古典概型（精讲）题型目录一览①随机事件关系与运算②频率与概率③互斥事件与对立事件④古典概型Ⅰ-简单的古典概型问题⑤古典概型Ⅱ-与排列组合结合一、随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：1.试验可以在相同条件下重复进行；2.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．二、样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果1，2，…，n，则称样本空间12,,,n为有限样本空间．三、随机事件和确定事件1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．2.作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．3.空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．4.确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．一、知识点梳理四、事件的关系与运算①包含关系：一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或者称事件A包含于事件B），记作BA或者AB．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．②相等关系：一般地，若BA且AB，称事件A与事件B相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作AB（或AB）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作AB（或AB）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：五、互斥事件与对立事件1.互斥事件：在一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，即=AB，则称事件A与事件B互斥，可用下图表示：如果1A，2A，…，nA中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件1A，．2A．，…，nA彼此互斥．2.对立事件：若事件A和事件B在任何一次实验中有且只有一个发生，即AB不发生，AB则称事件A和事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为A．3.互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．六、概率与频率1.频率：在n次重复试验中，事件A发生的次数k称为事件A发生的频数，频数k与总次数n的比值kn，叫做事件A发生的频率．2.概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A发生的频率kn总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作()PA．3.概率与频率的关系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率kn随着试验次数的增加稳定于概率()PA，因此可以用频率kn来估计概率()PA．七、随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用()PA表示.八、古典概型1.定义：一般地，若试验E具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.2.古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率nAkPAnn.注：（1）解决古典概型的问题要注意清楚以下三个方面①本试验是否具有等可能性；②本试验的基本事件有多少个；③事件A是什么．（2）一般解题步骤：①仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；②判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；③分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；④利用公式()APA包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A的概率．九、概率的基本性质1.对于任意事件A都有：0()1PA．2.必然事件的概率为1，即()=1P；不可能事概率为0，即()=0P．3.概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则()()()PABPAPB．推广：一般地，若事件1A，2A，…，nA彼此互斥，则事件发生（即1A，2A，…，nA中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：1212(...)()()...()nnPAAAPAPAPA．4.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则()1()PAPB，()1()PBPA，且()()()1PABPAPB．5.若A，B是一次随机实验中的两个事件，则()()()()PABPAPBPAB．题型一随机事件关系与运算【典例1】连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A{两次出现的点数相同}，事件B{两次出现的点数之和为4}，事件C{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D={两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件CD，AB；(2)若事件1,3,1,5,2,2,2,6,3,1,5,1,6,2E，则事件E与已知事件是什么运算关系？【题型训练】一、单选题1．已知()0.6PA，()0.3PB，如果AB，那么()PAB（）A．0.18B．0.42C．0.6D．0.72．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.3，是不可能事件的概率为0.1，则这10个事件中具有随机性的事件的个数为（）A．5B．6C．7D．83．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有()A．ABB．ABC．ABD．A与B之间没有关系4．抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A“点数为大于2小于5”，B“点数为偶数”，则AB表示的事件为（）A．“点数为4”B．“点数为3或4”二、题型分类精讲C．“点数为偶数”D．“点数为大于2小于5”5．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为（）A．1；6B．4；2C．5；1D．6；16．若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（）A．0.10B．0.15C．0.40D．0.457．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（）A．ADB．BDC．ACDD．ABBD8．A,B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A“A元件正常”，B“B元件正常”，用12,xx分别表示A,B两个元件的状态，用12,xx表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的个数是（）①样本空间1,1,1,0,0,1,0,0；②事件0,1,1,1B；③事件“电路是断路”可以用AB（或AB）表示；④事件“电路是通路”可以用AB（或AB）表示，共包含3样本点.A．0B．2C．3D．4二、填空题9．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个恰有一个红球”，则AB表示的事件为．10．打靶3次，事件iA“击中i发”，其中0,1,2,3i．那么123AAAA表示．11．已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且0.4PA，0.3PB，0.3PAB，则PAB.12．A、B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A“A元件正常”，B“B元件正常”，用1x、2x分别表示A、B两个元件的状态，用12,xx表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的是.①样本空间1,1,1,0,0,1,0,0；②事件0,1,1,1B；③事件“电路是断路”可以用AB（或AB）表示；④事件“电路是通路”可以用AB（或AB）表示，共包含3个样本点.13．根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为.题型二频率与概率策略方法1．概率与频率的关系频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．【典例1】（单选题）手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下，顾客年龄（岁）20岁以下20,3030,4040,5050,6060,7070岁及以上手机支付人数312149520其他支付方式人数0021327121从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在40,60内且未使用手机支付的概率为（）A．110B．15C．25D．12【题型训练】一、单选题1．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（）A．59100B．21100C．15D．452．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（）A．64个B．640个C．16个D．160个3．天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．35B．25C．12D．7104．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：第一组第二组第三组合计投篮次数100200300600命中的次数68124174366命中的频率0.680.620.580.61根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（）A．0.58B．0.61C．0.62D．0.685．对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A：抽到红球，则回答问题B，且箱子中只有白球和红球．问题A：你的生日的月份是否为偶数?（假设生日的月份为偶数的概率为12）问题B：你是否有在校使用手机?已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1000张有效答卷，其中有270张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生