阿基米德三角形与三道高考试题

阿基米德三角形与三道高考试题（山东省滕州市第一中学邵明志277500）题1（2005年江西卷，理22题）：如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.题2（2006全国卷II，理21题）：已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF→＝λFB→（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM→·AB→为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．题3（2007江苏卷，理19题）：如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0)Cc，任作一直线，与抛物线2yx相交于AB，两点．一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于点PQ，．（1）若2OAOB，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．上述三道高考试题都涉及到抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23．阿基米德三角形有许多有趣的性质，上述三题都是某些性质的体现，可以预见，今后围绕该三角形性质的高考试题还会出现，因此对该三角形的性质作进一步的研究是必要的、有益的．下面给出阿基米德三角形的一些有趣性质，证明时均以抛物线22ypx为例，且称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，下不赘述．性质1阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，M为弦AB中点，则过A的切线方程为11()yypxx，过BABCPQOxylxyOABPFl的切线方程为22()yypxx，联立方程组得1122211222()()22yypxxyypxxypxypx解得两切线交点Q(122yyp，122yy)，进而可知QM∥x轴.此性质即为题3考查内容．性质2若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线．证明：设Q(x，y)，由性质1，x=122yyp，y=122yy，∴122yypx由A、B、C三点共线知10122221210222yyyyyyyxppp，即221121020102yyyyxyxypy，将y=122yy，122yypx代入得00()yypxx，即为Q点的轨迹方程.性质3抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹．利用两式相减法易求得以C点为中点的弦的斜率为0py，因此该弦与Q点的轨迹即直线l平行．性质4若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如上图，设l方程为0axbyc，且11(,)Axy，22(,)Bxy，弦AB过点C00(,)xy，由性质2可知Q点的轨迹方程00()yypxx，该方程与0axbyc表示同一条直线，对照可得00,cbpxyaa，即弦AB过定点C（ca，bpa）.性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为28ap．l证明：|AB|=a，设Q到AB的距离为d，由性质1知22121212122||2244xxyyyyyydQMppp=212()4yyp，设直线AB方程为：xmyn，则2221(1)()amyy，∴221()yy≤2a，∴d24ap，即S=12ad≤28ap.性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p．证明：由性质2，若底边过焦点，则00,02pxy，Q点轨迹方程为2px即为准线；易验证1QAQBkk，即QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点；∴|QM|=122xx2p=22124yyp+2p≥122||4yyp+2p=224pp+2p=p，而121||()2QABSQMyy≥12||||QMyy≥2p性质6即为题2所涉及性质．性质7在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB．证明：如图，作AA'⊥准线，BB'⊥准线，连接QA'、QB'、QF、AF、BF，则1'FAykp，显然'1FAQAkk，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|，由三角形全等可得∠QAA'=∠QAF，∴△QAA'△QAF，∴|QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA，同理可证|QB'|=|QF|，∠QB'B=∠QFB，∴|QA'|=|QB'|，即∠QA'B'=∠QB'A'∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B,∴∠QFA=∠QFB，结论得证．此性质即题1的结论，但原解答采用代数法相当复杂，这里给出的几何法简洁明了．性质8在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线角QA、QB于S、T，则△QST的垂心在准线上．证明：设211(2,2)Aptpt、222(2,2)Bptpt、233(2,2)Iptpt，易求得过B、I的切线交点T2323(2,())pttptt，过T向QA引垂线，其方程为1231232()4txypttpttt，它和抛物线准线的交点纵坐标为y=123123()4ptttpttt，显然这个纵坐标是关于123,,ttt对称的，因此从S点向QB引垂线，从Q点向ST引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证．性质9|AF|·|BF|=|QF|2．证明：|AF|·|BF|=12()()22ppxx=21212()24ppxxxx=212()2yyp+22124yy+24p，而|QF|2=221212()()222yyyypp=212()2yyp+22124yy+24p=|AF|·|BF|.性质10QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行．证明：由性质1知Q(122yyp，122yy)，M1212(,)22xxyy，易得P点坐标为21212()(,)82yyyyp，此点显然在抛物线上；过P的切线的斜率为121222ppyyyy=ABk，结论得证．性质11在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的2倍．证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI；应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23；设BI与抛物线所围面积为1S，AI与抛物线所围面积为2S，AB与抛物线所围面积为S，则123322ABIQABQSTSSSSS=12333222QSTSSSS=123()2QSTSSSS=32ABIQSTSS，∴ABIS2QSTS．性质12设Q''(,)xy，2(,)2fxyypx，∠AQB=，则（1）2'QAQBpkKx（2）''QAQBykKx（3）(',')|||'|QAQBfxykKx（4）2(',')|tan||2'|fxyxp（5）222||(',')[(')]ABfxyypp=222(',')(2')(',')fxyxppfxyp（6）QABS=321(',')fxyp以上各结论的证明即是将Q、A、B三点的坐标代入进行检验，限于篇幅恕不赘述，详细可参看文[1]．参考文献[1]．吴跃生．再谈抛物线的阿基米德三角形的性质．数学通讯，1999（8）．