2017年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)

12017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年天津，文1，5分】设集合1,2,6A，2,4B，1,2,3,4C，则()ABC（）（A）2（B）1,2,4（C）1,2,3,4（D）1,2,3,4,6【答案】B【解析】1,2,4,6AB，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}ABC，故选B．（2）【2017年天津，文2，5分】设xR，则“20x”是“11x”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20x解得：2x；11x解得：02x，2x02x，故选B．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）（A）45（B）35（C）25（D）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C；42105P，故选C．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N的值为19，则输出的N的值为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N，第一次循环：118NN，不满足3N；第二次循环：63NN，不满足3N；第三次循环：23NN，满足3N；此时跳出循环体，输出3N，故选C．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）（A）221412xy（B）221124xy（C）2213xy（D）2213yx【答案】D【解析】因为OAF是边长为2的等边三角形（O为原点）所以2OF，60AOF，所以直线OA方程为3yx，所以渐近线方程byxa其中一条为3yx，所以，23cba，解之得：1,3,2abc，故选D．（6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()fx在R上是增函数，若21(log)5af，2(log4.1)bf，0.8(2)cf，则,,abc的大小关系为（）（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab【答案】C2【解析】因为()fx在R上是奇函数，所以有()()fxfx，即21(log)5af2(log5)f；又因为()fx在R上是增函数，且0.8122222log4log4.1log5，所以cba，故选C．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),fxxxR，其中0,，若511()2,()088ff，且()fx的最小正周期大于2，则（）（A）2,312（B）211,312（C）111,324（D）17,324【答案】A【解析】函数()2sin(),fxxxR，511()2,()088ff，振幅为2，所以如图所示：若函数图象如图表1所示，3115488T，解得T，不满足最小正周期大于2，所以函数图象如图表2所示，115488T，解得3T，23，又因为5()28f，所以25382，所以12，故选A．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1xxfxxxx，设aR，若关于x的不等式()2xfxa在R上恒成立，则a的取值范围是（）（A）[2,2]（B）[23,2]（C）[2,23]（D）[23,23]【答案】A【解析】函数()fx的图象如下图（左），若关于x的不等式()2xfxa在R上恒成立，则不妨设()2xgxa，“()2xfxa在R上恒成立”表示()yfx图象与()ygx图象应如下图（右）所示找到两个临界位置:①()fx与()gx相切时，1x，221'()12fxx，解得02x，03y，代入(2)3g，解得232a，2,4aa（舍）；②()gx过点(0,2)，代入(0)2g，2a，解得2,2aa（舍），故a的取值范围在2与2之间，故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知aR，i为虚数单位，若i2ia为实数，则a的值为．【答案】2【解析】解法一：i(i)(2i)21(2)i2i(2i)(2i)5aaaa为实数，所以20a，2a．解法二：i2ia为实数ia与2i成比例，比例为1，所以2a．（10）【2017年天津，文10，5分】已知aR，设函数()lnfxaxx的图象在点(1,(1))f处的切线为l，则l在y轴上的截距为．【答案】1【解析】函数()fx的导函数1'()fxax，所以(1),'(1)1fafa，切点(1,)a，斜率为1a，所以代入切线点斜式：(1)(1)yaax，l在y轴上的截距为：0,1xy，所以答案为1．3（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【答案】92【解析】球的表面积公式2618Sa，所以棱长3a，计算得：233Ra，32R，34932VR．（12）【2017年天津，文12】设抛物线24yx的焦点为F，准线为l，已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A，若120FAC，则圆的方程为．【答案】22(1)(3)1xy【解析】抛物线24yx的焦点为(1,0)F，准线为:1lx，所以可设(1,)Cb，OAb，120FAC，所以60AFH，在直角三角形OAF中，1OF，所以3OA，所以圆的圆心(1,3)，半径等于1，所以圆22:(1)(3)1Cxy．（13）【2017年天津，文13，5分】若,abR，0ab，则4441abab的最小值为．【答案】4【解析】4422414144abababababab（0ab），当且仅当“444ab”、“2241ab”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2ab．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC中，60A，3AB，2AC，若2BDDC，AEACAB()R，且4ADAE，则的值为．【答案】311【解析】01232cos603,33ABACADABAC，则122123()()3493433333311ADAEABACACAB．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2017年天津，文15，13分】在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知sin4sinaAB，2225()acabc．（1）求cosA的值；（2）求sin(2)BA的值．解：（1）sin4sinaAbB可化为224ab，解得：2ab，余弦定理：222cos2bcaAbc25acbc55．（2）根据5cos5A，解得25sin5A，所以5sin5B，25cos5B，4sin22sincos5BBB，23cos22cos15BB，sin(2)BA45325sin2coscos2sin()5555BABA10525255．（16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,xy表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数．（1）用,xy列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？4解：（1）分别用,xy表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,xyxyxyxyN．（2）设总收视人次为z万，则目标函数为6025zxy．考虑6025zxy，将它变形为12525zyx，这是斜率为125，随z变化的一族平行直线．25z为直线在y轴上的截距，当25z取得最大值时，z的值最大．又因为,xy满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025zxy经过可行域上的点M时，截距25z最大，即z最大．解方程组766020xyxy，得点M的坐标为6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，AD∥BC，PDPB，1AD，3BC，4CD，2PD．（1）求异面直线AP与BC所成的角的余弦值；（2）求证：PD平面PBC；（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）因为AD∥BC，所以PAD等于异面直线AP与BC所成的角，AD平面PDC，所以90PDA，5PA，5cos5ADPADAP．（2）因为AD平面PDC，所以ADPD，又因为AD∥BC，所以PDBC，PDPB，且PBBCB，所以PD平面PBC．（3）取BC上三分点，3BEBC，//BEAD，1ADBE，PD平面PBC，所以DEP等于直线AB与平面PBC所成角90DPE，25AB，25DE，4PE，25sin525PDDEPDE．（18）【2017年天津，文18，13分】已知na为等差数列，前n项和为nS*()nN，nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb，3412baa，11411Sb．（1）求na和nb的通项公式；（2）求数列2nnab的前n项和*()nN．解：（1）已知na为等差数列，nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)naand，1112nnnbbqq，22212qq，解之得：2,3qq（舍），118311(5)1116adad，解之得：11,3ad所以31nan，2nnb．（2）2(62)2nnnabn，不妨设数列2nnab的前n项和为nT，2142632212nnnnnTababababab，123142102162(68)2(62)2nnnTnn①2nT231142102(614)2(68)2(62)2nnnnnn②①-②得：123142626262(62)2nnnTn，整理得：216(34)2nnTn．（19）【2017年天津，文19，14分】设,abR，1a，已知函数32()63(4)fxxxaaxb，()()xgxefx．（1）求()fx的单调区间；（2）已知函数()ygx和函数xye的图象在公共点00(,)xy处有相