圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线的光学性质第1页共9页圆锥曲线光学性质的证明及应用初探一、圆锥曲线的光学性质1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在1F处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于2F处，对2F处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。证明：由导数可得切线l的斜率02020xxbxkyay，而1PF的斜率010ykxc，2PF的斜率020ykxc∴l到1PF所成的角满足2002222220000012222001000200tan11ybxxcayaybxbcxkkbxykkabxyacyxcay，00,Pxy在椭圆上，∴20tanbcy，同理，2PF到l所成的角满足2220tan1kkbkkcy，∴tantan，而,0,2，∴1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．图1.3F2F1图1.2AF1F2DO图1.1B圆锥曲线的光学性质第2页共9页要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l与曲线C交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：2.2圆锥曲线光学性质的证明预备定理1.若点00(,)Pxy是椭圆22221xyab上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：00221xxyyab。证明：由22221yxba2222(1)xyba……①，1°当xa时，过点P的切线斜率k一定存在，且0'|xxky，∴对①式求导：2222'byyxa，∴02020'|xxbxkyay，∴切线方程为200020()bxyyxxay……②，∵点00(,)Pxy在椭圆22221xyab上，故2200221xyab，代入②得00221xxyyab……③，而当xa时，00y切线方程为xa，也满足③式，故00221xxyyab是椭圆过点00(,)Pxy的切线方程.预备定理2.若点00(,)Pxy是双曲线22221xyab上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：00221xxyyab证明：由22221yxba2222(1)xyba……①，1°当xa时，过点P的切线斜率k一定存在，且0'|xxky，∴对①式求导：2222'byyxa，∴02020'|xxbxkyay，∴切线方程为200020()bxyyxxay……②，圆锥曲线的光学性质第3页共9页∵点00(,)Pxy在双曲线22221xyab上，故2200221xyab代入②得00221xxyyab……③，而当xa时，00y切线方程为xa，也满足③式，故00221xxyyab是双曲线过点00(,)Pxy的切线方程.预备定理3.若点00(,)Pxy是抛物线22ypx上任一点，则抛物线过该点的切线方程是00()yypxx证明：由22ypx，对x求导得：002'2'|xxpyypkyy，当00y时，切线方程为00()pyyxxy，即2000yyypxpx，而200002()ypxyypxx………①，而当000,0yx时，切线方程为00x也满足①式，故抛物线在该点的切线方程是00()yypxx.定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1）已知：如图，椭圆C的方程为22221xyab，12,FF分别是其左、右焦点，l是过椭圆上一点00(,)Pxy的切线，'l为垂直于l且过点P的椭圆的法线，交x轴于D，设21,FPDFPD，求证：.证法一：在2222:1xyCab上，00(,)PxyC，则过点P的切线方程为：00221xxyyab，'l是通过点P且与切线l垂直的法线，则0000222211':()()()yxlxxybaba，∴法线'l与x轴交于20((),0)cDxa，∴22102022||,||ccFDxcFDcxaa，∴201220||||acxFDFDacx，又由焦半径公式得：1020||,||PFaexPFaex，∴1122||||||||FDPFFDPF，∴PD是12FPF的平分线，∴，∵90，故可得证法二：由证法一得切线l的斜率02020'|xxbxkyay，而1PF的斜率010ykxc，2PF的斜率xy1F2FDPll圆锥曲线的光学性质第4页共9页020ykxc，∴l到1PF所成的角'满足：2002222220000012222001000200tan'1()1()ybxxcayaybxbcxkkbxykkabxyacyxcay∵00(,)Pxy在椭圆2222:1xyCab上，∴20tan'bcy，同理，2PF到l所成的角'满足2220tan1kkbkkcy，∴tan'tan'而','(0,)2，∴''证法三：如图，作点3F，使点3F与2F关于切线l对称，连结1F，3F交椭圆C于点'P下面只需证明点P与'P重合即可。一方面，点P是切线l与椭圆C的唯一交点，则12||||2PFPFa，是l上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为l上的其它点均在椭圆外）。另一方面，在直线l上任取另一点''P，∵12131312|'||'||'||'||||''||''|PFPFPFPFFFPFPF即'P也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与'P重合，即而得证定理2双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）；已知：如图，双曲线C的方程为22221xyab，1F，2F分别是其左、右焦点，l是过双曲线C上的一点00(,)Pxy的切线，交x轴于点D，设1FPD，2FPD求证：证明：2222:1xyCab，两焦点为1(,0)Fc，2(,0)Fc)(222bac，00(,)Pxy在双曲线上，则过点P的切线00221xxyyab，切线l与x轴交于20(,0)aDx。由双曲线的焦半径公式得：1020||||,||||ccPFxaPFxaaa，双曲线的两焦点坐标为)0,(cF，)0,(cF，故011102000220||||||||||||,||||||,||||||cxaPFDFacacaDFxaDFxacxaxaPFDFxaa故，∴切线l为FFP之角分线。PFFLDxLPFFLDyLPFFLD图2.2圆锥曲线的光学性质第5页共9页定理3抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）。已知：如图，抛物线C的方程为为24ycx，直线l是过抛物线上一点00(,)Pxy的切线，交x轴于D，,DPFPDF，反射线PQ与l所成角记为，求证：证明：如图，抛物线C的方程为2:4Cycx，点00(,)Pxy在该抛物线上，则过点P的切线为00()yypxx，切线l与x轴交于0(,0)Dx，焦点为)0,(cF，(同位角)，∵220000||()||,||||PFxcyxcDFxc，∴||||PFDF，∴通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？三、圆锥曲线的光学性质的应用3．1解决入射与反射问题例1.设抛物线2:Cyx，一光线从点A(5，2)射出，平行C的对称轴，射在C上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为____，Q点的坐标为______。解：如图，直线AP平行于对称轴且A(5，2)，∴则P点的坐标为（4，2），∴反射线PQ过点1(,0)4F，设2(,)Qtt，则2281115444tt，解得：18t，∴11(,)648Q例2.已知椭圆方程为252x162y1，若有光束自焦点A(3，0)射出，经二次反射回到A点，设二次反射点为,BC，如图3.1.2所示，则△ABC的周长为。解：∵椭圆方程为252x162y1中，225169c，∴A(3，0)为该椭圆的一个焦点，∴自A(3，0)射出的光线AB反射后，反射光线AC定过另一个焦点A(-3，0)故△ABC的周长为：''44520ABBAACCAa。图3.1.1PFLDyLPFFLDxLPFFLD图2.3图3.1.1图3.1.2圆锥曲线的光学性质第6页共9页例3.双曲线22:188xyC，又AC，已知A(4，22)，F(4，0)，若由F射至A的光线被双曲线C反射，反射光通过(8,)Pk，则k=。解：∵入射线FA反射后得到的光线AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点'(4,0)F，∴2232128kk3．2解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。例4．已知椭圆221259xyC：，1F、2F为分别是其左右焦点，点(21)Q，，P是C上的动点，求1MFMQ的取值范围。（一）分析猜想：（1）经计算，22Q（，）点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此1MFMQ应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。（2）同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从1F射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2.1，光线从11FPQ），二是被下半椭圆反射（如图3.2.2，光线从122FPFQ），究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2.1中的1112PFPQa(2a为椭圆长轴长)，而图3.2.2中的2122PFPQa