第4章　§4.9　解三角形及其应用举例 (63)

1．一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C，若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的路程为()A．12海里B．87海里C．85－23海里D．83海里2．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350mB．2650mC．3650mD．4650m3．(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan∠BPC＝13.已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是()A.2kmB．2kmC.3kmD．4km4．(2022·洛阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB＋sinC＝2sinA，则A的最大值为()A.2π3B.π6C.π2D.π35．(2023·德阳模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且b＝2asinB,则cosB＋sinC的取值范围为()A．(0，3]B．(1，3]C.32，32D.12，326．(多选)(2022·重庆模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝π3，若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正确的是()A．△ABC的内角B＝π3B．△ABC的内角C＝π3C．△ACD的面积为334D．四边形ABCD面积的最大值为532＋37．(2022·南宁模拟)2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上点A，B观测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量CA→与CB→同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为________千米(结果保留整数，参考数据：3≈1.732)．8．(2022·六安模拟)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，ccosB＋(2a＋b)cosC＝0，若△ABC的外接圆面积为π，则△ABC周长的最大值是________．9．(2022·益阳模拟)在①sinAsinB＋sinBsinA＋1＝c2ab；②(a＋2b)cosC＋ccosA＝0；③3asinA＋B2＝csinA，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．(1)求角C的大小；(2)若c＝4，求AB的中线CD长度的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．10．(2022·西安模拟)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sinAsinBsinC＝32(sin2A＋sin2B－sin2C)．(1)求sinC；(2)若c＝3，求△ABC周长的取值范围．11．(多选)(2023·宁波模拟)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向，距离126海里，灯塔C在A的北偏西30°方向，距离为123海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，下面结论正确的有()A．AD＝24B．CD＝12C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D．∠CDA＝60°12．(2023·咸阳模拟)数学必修第二册介绍了海伦－秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝14a2c2－a2＋c2－b222，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若1－3cosB3sinB＝1tanC，b＝2，则△ABC面积S的最大值为()A.3B.5C．2D.213．(2022·烟台模拟)我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB是窗户的高度，BC是遮阳篷的安装高度，CD是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为α，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为β，窗户高度AB＝h.为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC＝________.14．(2023·遵义模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinB＋C2＝asinB，a＝2，则△ABC周长的最大值为________．15．在平面内，四边形ABCD的∠ABC与∠ADC互补，DC＝1，BC＝3，∠DAC＝30°，则四边形ABCD面积的最大值等于()A.3B.32＋1C.22＋1D．216.拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D，E，F，若DF＝23，则ABAD＝________，AB＋AC的最大值为________．