第10讲 指数与指数函数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第10讲指数与指数函数（精讲）题型目录一览①指数幂的化简与求值②指数函数的图像与性质③解指数方程与不等式④指数函数的综合应用★【文末附录-指数运算和指数函数思维导图】1.指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根，其中(1n，)nN，记为na，n称为根指数，a称为根底数．(2)根式的性质：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)naa中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()nnaaaaanN个；②零指数幂01(0)aa；③负整数指数幂1(0nnaaa，)nN；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0mnmnaaaa，m，)nQ；②()(0mnmnaaa，m，)nQ；③()(0mmmabaab，0b，)mQ；④(0mnmnaaa，m，)nQ．2.指数函数一、知识点梳理xya01a1a图象性质①定义域R，值域(0)，②01a，即时0x，1y，图象都经过(01)，点③xaa，即1x时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤0x时，1xa；0x时，01xa0x时，01xa；0x时，1xa⑥既不是奇函数，也不是偶函数【常用结论】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a”和“01a”两种情形讨论．(2)当01a时，x，0y；a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．当1a时x，0y；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．(3)指数函数xya与1()xya的图象关于y轴对称．一、单选题1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数1()12xfx，则对任意实数x，有（）A．()()0fxfx-+=B．()()0fxfxC．()()1fxfxD．1()()3fxfx【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．a1xy(1,a)1Oa1xy(1,a)1O二、题型分类精讲刷真题明导向【详解】1121112121212xxxxxfxfx，故A错误，C正确；11212121121212122121xxxxxxxxfxfx，不是常数，故BD错误；故选：C．2．（2020·全国·统考高考真题）设3log42a，则4a（）A．116B．19C．18D．16【答案】B【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log42a可得3log42a，所以49a，所以有149a，故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数yfx是偶函数，当(0,)x时，01xyaa，则该函数在(,0)上的图像大致是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【详解】当(0,)x时，01xyaa，所以fx在0,上递减，fx是偶函数，所以fx在,0上递增.注意到01a，所以B选项符合.故选：B4．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）A．224yxxB．4sinsinyxxC．2y22xxD．4lnlnyxx【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,BD不符合题意，C符合题意．【详解】对于A，2224133yxxx，当且仅当=1x时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0sin1x，4sin244sinyxx，当且仅当sin2x时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而20x，242222442xxxxy，当且仅当22x，即1x时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，4lnlnyxx，函数定义域为0,11,，而lnxR且ln0x，如当ln1x，5y，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．5．（2022·浙江·统考高考真题）已知825,log3ab，则34ab（）A．25B．5C．259D．53【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为25a，821log3log33b，即323b，所以22323232452544392aaabbb．故选：C.6．（2020·全国·统考高考真题）若2233xyxy，则（）A．ln(1)0yxB．ln(1)0yxC．ln||0xyD．ln||0xy【答案】A【分析】将不等式变为2323xxyy，根据23ttft的单调性知xy，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233xyxy得：2323xxyy，令23ttft，2xy为R上的增函数，3xy为R上的减函数，ft为R上的增函数，xy，0yxQ，11yx，ln10yx，则A正确，B错误；xyQ与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,xy的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.7．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e,ln0.99abc，，则（）A．abcB．cbaC．cabD．acb【答案】C【分析】构造函数()ln(1)fxxx，导数判断其单调性，由此确定,,abc的大小.【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)fxxxx，因为1()111xfxxx，当(1,0)x时，()0fx，当,()0x时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx在(0,)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以1()(0)09ff，所以101ln099，故110lnln0.999，即bc，所以1()(0)010ff，所以91ln+01010，故1109e10，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx，则21e11()+1e11xxxgxxxx,令2()e(1)+1xhxx，2()e(21)xhxxx，当021x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递减，当211x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递增，又(0)0h，所以当021x时，()0hx，所以当021x时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx单调递增，所以(0.1)(0)0gg，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.方法二：比较法解：0.10.1ae，0.110.1b，ln(10.1)c，①lnln0.1ln(10.1)ab，令()ln(1),(0,0.1],fxxxx则1()1011xfxxx，故()fx在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0ff，即lnln0ab，所以ab；②0.10.1ln(10.1)ace，令()ln(1),(0,0.1],xgxxexx则1111'11xxxxxegxxeexx，令()(1)(1)1xkxxxe，所以2()(12)0xkxxxe，所以()kx在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0kxk，即()0gx，所以()gx在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0gg，即0ac，所以.ac故.cab题型一指数幂的化简与求值策略方法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．【典例1】计算：(1)0220.254361822772；(2)已知：11223aa，求12222aaaa的值.【答案】(1)4(2)15【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；（2）在等式11223aa两边平方可得出1aa，再利用平方关系可求得22aa，代入计算可得出12222aaaa的值.【详解】（1）解：原式312324431223212944.（2）解：因为11223aa，则21112229aaaa，所以，17aa，所以，2122249aaaa，可得，2247aa，因此，122272124725aaaa.【题型训练】一、单选题1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）737327（）A．9B．19C．3D．39【答案】B【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.【详解】73737773737373233313332739.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（）A．设0,a则4334aaaB．若82m，则m82C．若13aa，则11225aaD．4422【答案】B【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误．【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得443325334412aaaaa，选项A错误；对于B，82m，故82m，选项B正确；对于C，13aa，112122()2325aaaa，因为0a，所以11225aa，选项C错误；对于D，44222，选项D错误.故选：B．二、填空题3．（2023·全国·高三专题练习）若13mm，则221mm______【答案】7【分析】在等式13mm两边平方，可得出221mm的值.【详解】在等式13mm两边平方可得222221111229mmmmmmmm，因此，2217mm.故答案为：7.4．（2023·全国·高三专题练习）已知0xy，化简二次根式2xyy的值是________【答案】x.【分析】利用根式的性质进行化简.【详解】由2xy可知，0x，又0xy，所以0y，所以2xyyx，所以2xyxy.故答案为：x.5．（2023·全国·高三专题练习）已知221xa，则33xxxxaaaa=__________【答案】221【分析】利用立方和公式化简，再代入求值即可.【详解】221xa，22332211121122121xxx