第12讲 函数的图像（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第12讲函数的图像（精讲）题型目录一览①作函数的图像②函数图像的辨识③函数图像的应用1．利用描点法作函数的图象描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描点、连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减．(2)对称变换①y＝f(x)的图象―――――――→关于x轴对称y＝－f(x)的图象；②y＝f(x)的图象――――――――→关于y轴对称y＝f(－x)的图象；③y＝f(x)的图象―――――――――→关于原点对称y＝－f(－x)的图象；④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象――――――――――→关于直线y＝x对称y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．一、知识点梳理(3)伸缩变换①y＝f(x)的图象―――――――――――――――――――――――→a＞1，横坐标缩短为原来的1a，纵坐标不变0＜a＜1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y＝f(ax)的图象；②y＝f(x)的图象――――――――――――――――――――――――――――――→a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变y＝af(x)的图象．(4)翻转变换①y＝f(x)的图象――――――――――――――――→x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y＝|f(x)|的图象；②y＝f(x)的图象―――――――――――――――――――→y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y＝f(|x|)的图象．【常用结论】1．函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a2对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]的大致图像，则该函数是（）A．3231xxyxB．321xxyxC．22cos1xxyxD．22sin1xyx【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设321xxfxx，则10f，故排除B;设22cos1xxhxx，当π0,2x时，0cos1x，所以222cos2111xxxhxxx，故排除C;设22sin1xgxx，则2sin33010g，故排除D.故选：A.2．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数21(),()sin4fxxgxx，则图象为如图的函数可能是（）二、题型分类精讲刷真题明导向A．1()()4yfxgxB．1()()4yfxgxC．()()yfxgxD．()()gxyfx【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，21sin4yfxgxxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，21sin4yfxgxxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，21sin4yfxgxxx，则212sincos4yxxxx，当4x时，22120221642y，与图象不符，排除C.故选：D.3．（2020·天津·统考高考真题）已知函数3,0,(),0.xxfxxx…若函数2()()2()gxfxkxxkR恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．1,(22,)2B．1,(0,22)2C．(,0)(0,22)D．(,0)(22,)【答案】D【分析】由(0)0g，结合已知，将问题转化为|2|ykx与()()||fxhxx有3个不同交点，分0,0,0kkk三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g，所以要使()gx恰有4个零点，只需方程()|2|||fxkxx恰有3个实根即可，令()hx()||fxx，即|2|ykx与()()||fxhxx的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0xxfxhxxx，当0k时，此时2y，如图1，2y与()()||fxhxx有1个不同交点，不满足题意；当0k时，如图2，此时|2|ykx与()()||fxhxx恒有3个不同交点，满足题意；当0k时，如图3，当2ykx与2yx=相切时，联立方程得220xkx，令0得280k，解得22k（负值舍去），所以22k.综上，k的取值范围为(,0)(22,).故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.题型一作函数的图像策略方法作函数图象的两种常用方法【典例1】已知2()2fxxx.（1）画函数()yfx的图象；（2）若直线ya与()yfx的图象有4个不同的交点，求实数a的取值范围以及所有交点横坐标之和.【答案】（1）图象见解析；（2）01a；4.【分析】（1）由题得函数222,20()2,02xxxxfxxxx或，再画图；（2）利用数形结合分析得a的取值范围，再利用对称性求出所有交点横坐标之和.【详解】（1）由题得函数222,20()2,02xxxxfxxxx或，函数的图象如图所示.（2）当1x时，()=1fx.因为直线ya与()yfx的图象有4个不同的交点，所以01a.设四个交点依次为,,,ABCD,所以2,2,+4.ADBCADBCxxxxxxxx所以所有交点横坐标之和为4.【点睛】本题主要考查函数的图象的画法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【题型训练】一、解答题1．（1）画函数22fxxx的图象，并写出单调增区间；（2）函数Fxfxa有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）图象见解析，增区间为0,1，2,；（2）1a或0a.【解析】（1）利用函数图象的翻折变换可得fx的图象，根据图象可得其增区间.（2）考虑直线ya与yfx的图象有两个交点即可得到a的取值范围.【详解】（1）22fxxx的图象如图所示：由图象可知：函数的增区间为0,1，2,.（2）因为函数Fxfxa有两个零点，故直线ya与yfx的图象有两个交点，故1a或0a.2．画函数图象：221yxx．【答案】答案见解析.【分析】判断函数的奇偶性，先利用描点法作出[0,)上函数的图象，再利用对称关系作出(,0)的图象.【详解】因为22()()2121()fxxxxxfx，所以函数为偶函数，当0x时，2221(1)2yxxx，,xy的对应值表如下x0123…y1212…描点后用平滑曲线连接可得[0,)上函数的图象，再将其关于y轴对称画出(,0)上的图象，从而可得函数的图象，如下图3．画函数图象()1xfxx【答案】见解析.【分析】利用图象变换法作出函数图象.【详解】由题可知1xfxx＝,01,01xxxxxx,当0x时，1111xyxx，其图象可由1yx的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位而得如图(a)．又因为,11xxxfxfxxxR，所以()fx为奇函数，所以()fx图象关于原点对称．∴()fx的图象如图(b)．题型二函数图像的辨识策略方法辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．【典例1】如图，函数sineexxxfx在区间22,上的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性及值域分析即可.【详解】由题意sinsinsin0eeeeeexxxxxxxxxfxfxfx，即fx为奇函数，可排除C项，而,eee22exxxx当且仅当eexx即0x时，取等号，且sin1,10,2xx时，sin01eexxx，可排除B、D选项，故选：A【题型训练】一、单选题1．（甘肃省白银市靖远县2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）函数222xxxfx的部分图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性以及0x时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.【详解】因为222xxxfxfx，又函数的定义域为0xx，故fx为奇函数，排除AC；根据指数函数的性质，2xy在R上单调递增，当0x时，xx，故22xx，则0fx，排除D.故选：B2．（海南省2023届高三学业水平诊断（三）数学试题）函数ee101xxfxx的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性证明函数()fx为偶函数；分别求出1()0,(2)02ff，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()fx的定义域为1xx，关于原点对称，ee()()10(1)xxfxfxx，则函数()fx为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；又1122221eeee()0,(2)0121010(1)2ff，故排除AB，D符合题意.故选：D.3．（陕西省咸阳市2023届高三三模文科数学试题）已知函数()fx的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．e()sinxfxxB．e()cosxfxxC．()ecosxfxxD．esinxfxx【答案】D【分析】利用排除法，结合函数图象，利用函数的定义域和导数研究函数的单调性，依次判断选项即可.【详解】由图象可知，函数f（x）的定义域为R.A：esinxxfx，函数()fx的定义域为π,Zxxkk，所以A不符题意；B：ecosxxfx，函数()fx的定义域为ππ,Z2xxkk，所以B不符题意；C：当0πx时，()ecosxfxx，则()ecosesine(cossin)xxxfxxxxx