第7章　§7.6　空间向量的概念与运算 (82)

1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于()A．－6B．6C．－4D．42．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有()A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥bB．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥cC．若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，且OD→＝13OA→＋13OB→＋13OC→，则A，B，C，D四点共面D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则BD1—→·AD→等于()A．1B．2C．3D.634．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B.1，3，32C.1，－3，32D.－1，3，－325.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为()A．2B．3C．23D．46．(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是()A．向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为23D．向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)7．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝________.8．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→.则VA与平面PMN的位置关系是________．9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上是否存在一点E，使得OE→⊥b？(O为原点)10.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3AD＝3AA1＝3，点P为线段A1C上的动点，则下列结论不正确的是()A．当A1C—→＝2A1P—→时，B1，P，D三点共线B．当AP→⊥A1C—→时，AP→⊥D1P—→C．当A1C—→＝3A1P—→时，D1P∥平面BDC1D．当A1C—→＝5A1P—→时，A1C⊥平面D1AP12．(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是()A．MN⊥A1MB．MN⊥平面D1MCC．线段BN长度的最大值为34D．三棱锥C1－A1D1M体积不变13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，C1N→＝λNC→，且AB1⊥MN，则λ的值为________．14．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝________，EF＝________.15．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足AF→＝λAB→(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为()A.12B.23C.35D.4516.如图，在三棱锥P－ABC中，PA→·AB→＝PA→·AC→＝AB→·AC→＝0，|PA→|2＝|AC→|2＝4|AB→|2.(1)求证：AB⊥平面PAC；(2)若M为线段PC上的点，设|PM→||PC→|＝λ，当λ为何值时，直线PC⊥平面MAB?