2015年高考山东理科数学试题及答案解析

12015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}xxx，{|24}Bxx，则AB（）（A）1,3（B）1,4（C）2,3（D）2,4（2）【2015年山东，理2】若复数z满足i1iz，其中i是虚数单位，则z（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i（3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3yx的图象，只需将函数sin4yx的图像（）（A）向左平移12个单位（B）向右平移12个单位（C）向左平移3个单位（D）向右平移3个单位（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为a，60ABC，则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=（）（A）232a（B）234a（C）234a（D）232a（5）【2015年山东，理5】不等式|1||5|2xx的解集是（）（A）(,4)（B）(,1)（C）(1,4)（D）(1,5)（6）【2015年山东，理6】已知,xy满足约束条件020xyxyy若zaxy的最大值为4，则a（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3（7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD中，2ABC，//ADBC，222BCADAB．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）23（B）43（C）53（D）2（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布2(,)N，则()68.26%P，(22)95.44%P）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%（9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)射出，经y轴反射与圆22(3)(2)1xy相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）53或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34（10）【2015年山东，理10】设函数31,1,()2,1.xxxfxx则满足()(())2faffa的取值范围是（）（A）2[,1]3（B）[0,1]（C）2[,)3（D）[1,)第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：20010113301225550123377774;4;4;4;CCCCCCCCCC照此规律，当*nN时，012121212121nnnnnCCCC．（12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan4xxm”是真命题，则实数m的最小值为．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为．（14）【2015年山东，理14】已知函数()xfxab(0,1)aa的定义域和值域都是[1,0]，则ab．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线22122:1(0,0)xyCabab的渐近线与抛物线22:2(0)Cxpyp交于点,,OAB，若OAB的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设2()sincoscos()4fxxxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若()0,12Afa，求ABC面积．（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEFABC中，2,,ABDEGH分别为,ACBC的中点．（Ⅰ）求证：//BD平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，,,45ABBCCFDEBAC，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．3（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为nS，已知233nnS．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足3lognnnaba，求数列{}nb的前n项和nT．（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．4（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，左、右焦点分别是12,FF,以1F为圆心，以3为半径的圆与以2F为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144xyEab，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于,AB两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||||OQOP的值；（ii）求ABQ面积最大值．5（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数2()ln(1)()fxxaxx，其中aR．（Ⅰ）讨论函数()fx极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x，()0fx成立，求a的取值范围．62015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}xxx，{|24}Bxx，则AB（）（A）1,3（B）1,4（C）2,3（D）2,4【答案】C【解析】2{|430}{|13}Axxxxx，(2,3)AB，故选C．（2）【2015年山东，理2】若复数z满足i1iz，其中i是虚数单位，则z（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i【答案】A【解析】2(1i)iii1iz，1iz，故选A．（3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3yx的图象，只需将函数sin4yx的图像（）（A）向左平移12个单位（B）向右平移12个单位（C）向左平移3个单位（D）向右平移3个单位【答案】B【解析】sin4()12yx，只需将函数sin4yx的图像向右平移12个单位，故选B．（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为a，60ABC，则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=（）（A）232a（B）234a（C）234a（D）232a【答案】D【解析】由菱形ABCD的边长为a，60ABC可知18060120BAD，2223()()cos1202BDCDADABABABADABaaaa，故选D．（5）【2015年山东，理5】不等式|1||5|2xx的解集是（）（A）(,4)（B）(,1)（C）(1,4)（D）(1,5)【答案】A【解析】当1x时，1(5)42xx成立；当15x时，1(5)262xxx，解得4x，则14x；当5x时，1(5)42xx不成立．综上4x，故选A．（6）【2015年山东，理6】已知,xy满足约束条件020xyxyy若zaxy的最大值为4，则a（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3【答案】B【解析】由zaxy得yaxz，借助图形可知：当1a，即1a时在0xy时有最大值0，不符合题意；当01a，即10a时在1xy时有最大值14,3aa，不满足10a；当10a，即01a时在1xy时有最大值14,3aa，不满足01a；当1a，即1a时在2,0xy时有最大值24,2aa，满足1a，故选B．（7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD中，2ABC，//ADBC，222BCADAB．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）7（A）23（B）43（C）53（D）2【答案】C【解析】2215121133V，故选C．（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布2(,)N，则()68.26%P，(22)95.44%P）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P，故选D．（9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)射出，经y轴反射与圆22(3)(2)1xy相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）53或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34【答案】D【解析】(2,3)关于y轴对称点的坐标为(2,3)，设反射光线所在直线为3(2),ykx即230kxyk，则22|3223|1,|55|11kkdkkk，解得43k或34，故选D．（10）【2015年山东，理10】设函数31,1,()2,1.xxxfxx则满足()(())2faffa的取值范围是（）（A）2[,1]3（B）[0,1]（C）2[,)3（D）[1,)【答案】C【解析】由()(())2faffa可知()1fa，则121aa或1311aa，解得23a，故选C．第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;CCCCCCCCCC照此规律，当*nN时，012121212121nnnnnCCCC．【答案】14n【解析】0121012121212121212121211(2222)2nnnnnnnnnnCCCCCCCC021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCCCCC（12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan4xxm”是真命题，则实数m的最小值为．【答案】1【解析】“[0,],tan4xxm”是真命题，则tan14m，于是实数m的最小值为1．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为．8【答案】116【解析】11200111111236Txdxxdx．（14）【2015年山东，理14】已知函数()xfxab(0,1)aa的定义域和值域都是[1,0]，