考点巩固卷16 空间几何体的表面积和体积（八大考点）（解析版）

学科网（北京）股份有限公司1考点巩固卷16空间几何体的表面积和体积（八大考点）考点01空间几何体的结构特征1．下列说法正确的是（）A．直四棱柱是长方体B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分【答案】C【分析】根据几何体的结构特征可以一一判断各选项.【详解】对于A，当直四棱柱的底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，A错误；学科网（北京）股份有限公司2对于B，不符合棱柱的结构特征，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱，B错误；对于C，正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体，C正确；对于D，不符合台体的结构特征,截面应该跟底面平行，D错误.故选：C2．（多选）下列命题中不正确的是（）A．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面B．正四棱锥的侧面都是正三角形C．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台D．平行六面体的每个面都是平行四边形【答案】BC【分析】由正四棱锥的概念判断选项B；由旋转体的结构特征判断选项A,C；由平行六面体的特征判断选项D.【详解】对于A，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故选项A正确；对于B，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故选项B错误；对于C，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，而不是用一个平面去截圆锥，故选项C错误，对于D，平行六面体的每个面都是平行四边形，故选项D正确，故选：BC.3．（多选）下列结论正确的是（）A．等底面积、等高的两个柱体，体积相等B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥C．有一个面是正方形的长方体是正四棱柱D．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，正方形的直观图可能还是正方形【答案】AC【分析】利用柱体体积公式判断A，利用正棱锥的性质判断B，利用正四棱柱的定义判断C，利用斜二测画法的要求判断D.【详解】对于A，因为柱体的体积公式为VSh，所以等底面积、等高的两个柱体体积相等，故A正确；学科网（北京）股份有限公司3对于B，正棱锥的侧棱相等，而底面是正多边形的棱锥，其侧棱不一定相等，故B错误；对于C，侧棱垂直于底面，底面是正方形的棱柱是正四棱柱，而有一个面是正方形的长方体满足上述要求，故C正确；对于D，水平放置的正方形的直观图的邻边一定不相等，所以不可能还是正方形，故D错误.故选：AC．4．已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件，结合棱柱的定义判断.【详解】由棱柱定义知棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形，故满足必要性；但有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，例如两个底面全等的斜棱柱拼接的几何体不是棱柱，如图所示：，故不满足充分性，故选：B5．在三棱锥ABCD中，“三棱锥ABCD为正三棱锥”是“ABCD且ACBD”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】验证充分性可根据正三棱锥的几何性质通过线面垂直的判定及性质判断线线垂直，必要性验证借助直四棱柱构造三棱锥满足ABCD，ACBD，结合直四棱柱的性质判断三棱锥ABCD是否为正三棱锥即可.【详解】解：充分性：如图，在ABCD中，E为DC中点，连接,BEAE学科网（北京）股份有限公司4若三棱锥ABCD为正三棱锥，则BCD△为正三角形，且ABACAD，因为E为DC中点，所以,AEDCBEDC，又,,AEBEEAEBE平面ABE所以DC平面ABE，又AB平面ABE，则ABCD，同理可得ACBD，故充分性成立；必要性：如图，在直四棱柱AEBFGCHD中，底面AFBE为菱形，且AEAG，但ADCD由直四棱柱AEBFGCHD及底面AFBE为菱形，易得ABCD，又AEAG，则直四棱柱的侧面均为正方形，易得ACBD，且ADACBCBD，由于ADCD，则BCD△不为正三角形，故三棱锥ABCD不为正三棱锥，故必要性不成立；综上，“三棱锥ABCD为正三棱锥”是“ABCD且ACBD”的充分不必要条件.故选：A.考点02斜二测画法及应用6．如图，一个水平放置的ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形ABO，若1BABO，则原三角形ABO的面积为.【答案】2学科网（北京）股份有限公司5【分析】根据斜二测画法的规则，与x轴平行的线段在直观图中与x轴平行，长度不变；与y轴平行的线段在直观图中与y轴平行，长度减半，分别求出,OAOB的长度，即可求出面积.【详解】根据题意可得2OA，在ABO中，1OBOB，222OAOA，所以ABO的面积为112222S故答案为：2.7．如图所示，梯形ABCD是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，22,1ADBCAB，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（）A．2B．3C．5D．5【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度.【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，由斜二测法则知2ABAB，1BCBC，ABBC，所以2222215ACABBC.故选：C8．一水平放置的平面图形ABCD，用斜二测画法画出了它的直观图1111DCBA，该直观图1111DCBA是一个等学科网（北京）股份有限公司6腰梯形，且11111111122ABBCCDDA，则原平面图形ABCD的边AB.【答案】2823【分析】分别过11,BC作111BEOD于点E，111CFOD于点F，可求出11160BAD，在111OAB△中求出11OA，11OB，从而可得OB，然后在直角三角形AOB，利用勾股定理可求得结果.【详解】分别过11,BC作111BEOD于点E，111CFOD于点F，因为11111111122ABBCCDDA，所以111AEFD，所以1111111cos2AEBADAB，所以11160BAD，所以13BE，111120OAB，因为11145BOA，所以11BOE为等腰直角三角形，所以113OEAE，所以1131OA，在111OAB△中，112AB，11145BOA，111120OAB，由正弦定理得1111111111sinsinABOBAOBOAB，所以112sin45sin120OB，所以1123222OB，得116OB，所以由斜二测画法可知1111226,31OBOBOAOA，90AOB，所以222231262823ABOAOB，故答案为：2823学科网（北京）股份有限公司79．如图，长方体1111ABCDABCD的底面ABCD的斜二测直观图为平行四边形ABCD.已知3AB，2BC，高15AA，M，N分别为11DC，11BC的中点，用平面MNBD截该长方体，则剩余的三棱台的体积为.【答案】352【分析】利用斜二测画法求出长方体的长、宽、高，再由棱台体积公式可解.【详解】因为3AB，2BC，高15AA，所以长方体1111ABCDABCD中，3AB，4BC，15AA，又M，N分别为11DC，11BC的中点，13462BCDS，11332222MNCS由棱台体积公式113335()(66)533222VSSSSh.故答案为：35210．如图所示，梯形ABCD是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，22ADBC，2AB，则CD；平面图形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为.学科网（北京）股份有限公司8【答案】1728π3【分析】由斜二测画法原理可得平面图形ABCD是直角梯形，进而可求CD；直角梯形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积.【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形ABCD是直角梯形，如图：其中24ABAB，1BCBC，2ADAD，ABAD，过C作CEAD交AD于E，则E为AD的中点，在RtCED中，4CEAB，112EDAD，所以2217CDCEED；将直角梯形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，其上底面圆的半径为1BC，下底面圆的半径为2AD，高为4AB，故此圆台体积为128(ππ4π4π)4π33V.故答案为：17；28π311．用斜二测画法画ABC的直观图如图所示，其中2OBBC，2ABAC，则ABC中BC边上的中线长为（）学科网（北京）股份有限公司9A．3B．23C．3D．1【答案】D【分析】作出ABC的原图形，结合三角形的几何性质可求得ABC中BC边上的中线长.【详解】在直观图中，2OBBC，且45BOC，则45OCB，故BCOB，又因为2ABAC，则222ABACBC，可得ABAC，故ABC为等腰直角三角形，所以，45ABC，故//ABy轴，依据题意，作出ABC的原图形如下图所示：延长BA至点D，使得BAAD，则A为BD的中点，由题意可知，2OB，42OC，22AB，且//ABOC，所以，//BDOC且BDOC，故四边形OBDC为平行四边形，则2CDOB，取BC的中点E，连接AE，因为A、E分别为BD、BC的中点，则112122AECD.故选：D.考点03空间几何体的表面积12．如图，圆锥PO的底面直径和高均是4，过PO的中点1O作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（）A．745πB．845πC．945πD．645π学科网（北京）股份有限公司10【答案】B【分析】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面积可求得剩下几何体的表面积.【详解】设圆柱的高为h，底面半径为r，可知11142,41222hr，则圆锥的母线长为222425，所以剩下几何体的表面积为2π22π12π225845π.故选：B.13．如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为12π，则其体积为.【答案】16π3【分析】根据给定条件，求出中间圆柱的高，再利用球和圆柱的体积公式求解作答.【详解】依题意，几何体可视为半径为1的球和底面圆半径为1，高为h的圆柱组合而成，于是几何体的表面积24π12π14π2π12πShh，解得4h，所以该几何体的体积324π16π1π1433V.故答案为：16π314．如图，以菱形ABCD的一边AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知2AB，π3DAB．(1)求该几何体的体积；(2)求该几何体的表面积．学科网（北京）股份有限公司11【答案】(1)6π(2)83π【分析】（1）根据题意可知该几何体上部分为圆锥，下部分为在圆柱内挖去一小个与上部分相同的圆锥，再根据圆柱的体积公式即可得解；（2）根据圆柱和圆锥的侧面积公式即可得解.【详解】（1）如图，这是所求的几何体，该几何体上部分为圆锥，下部分为在圆柱内挖去一小个与上部分相同的圆锥，易知点D到AB的距离为π2sin33，即圆柱底面圆的半径为3，所以该几何体的体积为2π326π；（2）圆锥的侧面积为23π23π，圆柱的侧面积为223π43