考点巩固卷22抛物线方程及其性质(十大考点)（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点巩固卷22抛物线方程及其性质(十大考点)考点01抛物线的定义与方程1．若动点P到点3,0的距离和它到直线3x的距离相等，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．直线D．双曲线【答案】B【分析】根据给定条件，利用抛物线定义确定轨迹作答.【详解】动点P到点3,0的距离和它到直线3x的距离相等，而点3,0不在直线3x，所以动点P的轨迹是以点3,0到直线3x的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.故选：B2．（多选）若抛物线2=yx上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．11,42B．12,84C．11,42D．12,84【答案】BD【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义求得P点的坐标.【详解】设抛物线2=yx的焦点为F，则1,04F，依题意可知=PFPO，所以1=8Px，则212=,=84PPyy.所以P点坐标为：12,84、12,84.故选：BD3．已知F是抛物线C：22ypx的焦点，点2,Pt在C上且4PF，则F的坐标为（）A．2,0B．2,0C．4,0D．4,0【答案】A【分析】由4PF结合抛物线的定义可求出p的值，进而可求F的坐标.【详解】因为F是抛物线C：22ypx的焦点，所以,02pF，又4PF，由抛物线的定义可知242pPF，解得4p，所以2,0F.故选：A4．若抛物线22yx上一点M到拋物线焦点的距离为32，则点M到原点的距离为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．12B．1C．2D．3【答案】D【分析】设,Mxy，由抛物线定义列式求得x，即可依次求2y，即点M到原点的距离.【详解】由题得焦点坐标为1,02，则准线方程为12x设,Mxy，根据抛物线定义有有13122xx，∴222yx，∴点M到原点的距离为223xy+=.故选：D.5．若点P与点0,2F的距离比它到直线40y的距离小2，求点P的轨迹方程．【答案】28xy【分析】直接由题意列出方程，注意到要用分类讨论思想化简即可.【详解】不妨设点,Pxy，因为点P与点0,2F的距离比它到直线40y的距离小2，所以点P的轨迹方程为22242xyy，接下来我们分以下三种情形来化简该方程：情形一：当4y时，方程变为2222xyy，两边同时平方得22222xyy，化简并整理得点P的轨迹方程为28xy；如下图所示：此时点,Pxy对应的轨迹为顶点在原点，分别以点0,2F、直线=2y为焦点和准线的一条抛物线.情形二：当64y时，方程变为2226xyy，此时方程左边非负且右边恒负，所以此时方程无解，即此时点P的轨迹不存在，就无轨迹方程可言了；情形三：当6y时，方程变为2226xyy，两边同时平方得22226xyy，化简并整理得216xy，注意到6y且2016xy，此时产生了矛盾，因此此时点P的轨迹不存在，也无轨迹方程可言.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述：满足题意的点P的轨迹方程为28xy，（其中0y）.6．填空：（1）设抛物线28yx上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为；（2）设抛物线24yx上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为.【答案】61515(,)816或1515(,)816【分析】（1）求出点P到抛物线准线2x的距离，利用抛物线的定义即可求得答案；（2）利用抛物线焦半径公式求得点M的纵坐标，结合抛物线方程即可求得点M坐标.【详解】（1）抛物线28yx的焦点为(2,0)F,准线方程为2x，点P到y轴的距离是4，故点P到准线2x的距离是426，结合抛物线定义可知点P到该抛物线焦点的距离为6，故答案为：6（2）抛物线24yx即214xy，其焦点为1(0,)16F，准线方程为116y，由于抛物线24yx上一点M到焦点的距离为1，设(,)Mxy，则115()1,1616yy，将1516y代入214xy中，得21515,648xx，则M点坐标为1515(,)816或1515(,)816，故答案为：1515(,)816或1515(,)816考点02抛物线方程与位置特征7．（多选）关于抛物线22yx，下列说法正确的是（）A．开口向左B．焦点坐标为1,0C．准线为1xD．对称轴为x轴【答案】AD【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，22yx，开口向左，故A正确；对选项B，22yx，焦点为1,02，故B错误；对选项C，22yx，准线方程为12x，故C错误；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对选项D，22yx，对称轴为x轴，故D正确.故选：AD8．（多选）对于抛物线上218xy，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为0,2B．开口向上，焦点为10,16C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为4y【答案】AC【分析】写出标准形式即28xy，即可得到相关结论【详解】由抛物线218xy，即28xy，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为0,2，焦点到准线的距离为4，准线方程为=2y．故选：AC9．抛物线2yax的准线方程是1y，则实数a.【答案】14/0.25【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数a.【详解】抛物线2yax化为标准方程：21xya，其准线方程是1y，而212,02xyaa（）所以114a，即14a，故答案为：1410．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：(1)准线方程为32y；(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；(4)对称轴是y轴，经过点()1,2-．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）根据抛物线的准线方程为32y，得到322p且焦点在y轴上求解；（2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到6p=求解；（3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到22p求解；（4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为2xay，将点()1,2-代入求解.【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程为32y，所以322p，p=3，所以抛物线的方程是26xy；其图象如下：（2）因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6，所以6p=，所以抛物线的方程是212yx或212yx；其图象如下：（3）因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以22p，p=4，所以抛物线的方程是28yx或28yx；其图象如下：（4）因为对称轴是y轴，设抛物线方程为2xay，因为抛物线经过点()1,2-，所以212a，解得12a，所以抛物线的方程是212xy，其图象如下：考点03距离的最值问题11．抛物线C的顶点为原点，焦点为(2,0)F，则点(5,0)B到抛物线C上动点M的距离最小值为（）A．32B．26C．5D．52【答案】B【分析】求得抛物线C的方程，设出M点的坐标，根据两点间的距离公式以及二次函数的性质求得正确答案.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】抛物线C的焦点为(2,0)F，所以抛物线C的方程为22ypx，且2,282pp，所以抛物线C的方程为28yx，设2,,R8tMtt，则22242115258644tMBttt，所以当2148,221264tt时，MB取得最小值为116482526644.故选：B12．若点A在焦点为F的抛物线24yx上，且2AF，点P为直线1x=上的动点，则PAPF的最小值为（）A．25B．25C．222D．4【答案】A【分析】先求得A点的坐标，求得F关于直线=1x的对称点F，根据三点共线求得PAPF的最小值.【详解】抛物线24yx的焦点1,0F，准线=1x，12,1AAAFxx，则24,2AAyy，不妨设1,2A，1,0F关于直线=1x的对称点为3,0F，由于PFPF，所以当,,APF三点共线时PAPF最小，所以PAPF的最小值为22132025.故选：A13．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线214yx的焦点为F，点1,3B，若点A为抛物线任意一点，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当ABAF取最小值时，点A的坐标为（）A．1,14B．11,4C．1,4D．4,1【答案】B【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求ABAD取得最小值，数形结合求解即可.【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，则根据抛物线的定义可知||||AFAD，求ABAF的最小值，即求ABAD的最小值，显然当D，B，A三点共线时ABAD最小，此时A点的横坐标为1，代入抛物线方程可知11,4A.故选：B.14．设P是抛物线28yx上的一个动点，F为抛物线的焦点，点3,1B，则PBPF的最小值为.【答案】5【分析】过B作准线=2x的垂线垂足为B，交抛物线于P，根据抛物线的定义可得，当P、B、B三点共线时，||||PBPF小值．【详解】抛物线28yx，所以焦点为2,0F，准线方程为=2x，当3x时28324y，所以26y，因为261，所以点B在抛物线内部，如图，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过B作准线=2x的垂线垂足为B，交抛物线于P，由抛物线的定义，可知||||PFPB，故||||||||||3(2)5PBPFPBPBBB．即当P、B、B三点共线时，距离之和最小值为5．故答案为：5．15．已知点P在抛物线25xy上，且(0,3)A，求||PA的最小值．【答案】352【分析】利用点在抛物线上及两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设点P的坐标为(,)xy，则25xy，而且222||(3)PAxy29yy213524y，又因为0y，所以y12时，2min35||4PA．因此所求最小值为352.16．如图，已知点P是抛物线24xy上的动点，点A的坐标为12,6，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值.【答案】12【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义将点P到点A的距离与到x轴的距离之和转资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】化为点P到点A的距离与到焦点的距离之和减去1，继而利用几何意义求得答案.【详解】由抛物线方程24xy可知其焦点为(0,1)F，准线为1y，点P是抛物线24xy上的动点，则点P到x轴的距离为P到准线的距离减去1，由抛物线定义知P到准线的距离等于P到焦点的距离，设P到x轴的距离为d，则||||||1||1PAdPAPFAF，当且仅当,,FPA三点共线时等号成立，而22||12(61)13AF，故||12PAd，即点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值为12.考点04实际问题中的抛物线17．为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2