第01讲 直线的方程（九大题型）（讲义）（原卷版）

第01讲直线的方程目录考点要求考题统计考情分析（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（2）根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．2008年江苏卷第9题，5分2006年上海卷第11题，4分高考对直线方程的考查比较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等,特别要重视直线方程的求法.知识点一：直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l重合所成的角称为直线l的倾斜角，通常用，，，表示（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0（2）倾斜角的取值范围[0)，2、直线的斜率设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为tank（1）当2时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）k越大，直线越陡峭（5）倾斜角与斜率k的关系当0k时，直线平行于轴或与轴重合；当0k时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大；当0k时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k随的增大而减小；3、过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，11()，Axy，22()，Bxy则2121yykxx（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若12xx，则直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°4、三点共线．两直线，ABAC的斜率相等→、、ABC三点共线；反过来，、、ABC三点共线，则直线，ABAC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．知识点二：直线的方程1、直线的截距若直线l与坐标轴分别交于(0)(0)，，，ab，则称，ab分别为直线l的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线2、直线方程的五种形式3、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）4、线段中点坐标公式若点12，PP的坐标分别为1122()()，，，xyxy且线段12PP的中点M的坐标为()，xy，则121222xxxyyy，此公式为线段12PP的中点坐标公式．5、两直线的夹角公式若直线11ykxb与直线22ykxb的夹角为，则2112tan1kkkk.题型一：倾斜角与斜率的计算例1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是直线230xy的倾斜角，则π2sinsin4cos2的值为（）A．43B．453C．4515D．3520例2．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线l的一个方向向量为ππsin,cos33p，则直线l的名称方程适用范围点斜式11yykxx不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式112121yyxxyyxx不含直线112()xxxx和直线112()yyyy截距式1xyab不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式220(0)AxByCAB平面直角坐标系内的直线都适用倾斜角为（）A．π6B．π3C．2π3D．4π3例3．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过(13)(33)AB,,,两点的直线的倾斜角是（）A．45B．60C．90D．120变式1．（2023·全国·高二专题练习）如图，若直线123,,lll的斜率分别为123,,kkk，则（）A．132kkkB．312kkkC．123kkkD．321kkk变式2．（2023·全国·高二专题练习）直线33yx的倾斜角为（）A．30B．60C．120D．150变式3．（2023·全国·高二课堂例题）过两点4,Ay，2,3B的直线的倾斜角是135°，则y等于（）A．1B．5C．1D．5变式4．（2023·高二课时练习）直线l经过2,1A，21,BmmR两点，那么直线l的斜率的取值范围为（）．A．0,1B．,1C．2,1D．1,变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数321()3fxxx的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（）A．3π0,4B．π3π0,,π24C．3π,π4D．π3π,24【解题方法总结】正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212yykxx，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,xxyy时，直线的斜率不存在，倾斜角为90，求斜率可用tan(90)k，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在0,,22上的图像来认识．题型二：三点共线问题例4．（2023·全国·高二专题练习）已知三点(2,3),(4,3),5,2k在同一条直线上，则实数k的值为（）A．2B．4C．8D．12例5．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）若三点0,8A，4,0B，,4Cm共线，则实数m的值是（）A．6B．2C．6D．2例6．（2023·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考阶段练习）若三点M（2，2），N（a，0），Q（0，b），（0ab）共线，则11ab的值为（）A．1B．1C．12D．12变式6．（2023·全国·高三专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（）A．1±2或0B．252或0C．252D．2+52或0【解题方法总结】斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．题型三：过定点的直线与线段相交问题例7．（2023·吉林·高三校考期末）已知点1,3,2,1AB.若直线:21lykx与线段AB相交,则k的取值范围是（）A．12kB．2kC．12k或2kD．122k例8．（2023·高三课时练习）已知点2,3M和3,2N，直线:1lyaxa与线段MN相交，则实数a的取值范围是（）A．34a或4aB．344aC．344aD．344a例9．（2023·全国·高三专题练习）已知2,0A，0,2B，若直线2ykx与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A．1,1B．1,C．0,1D．,11,变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点2,3,3,2AB，若直线20axy与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A．54,,23B．45,32C．54,23D．45,,32变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线20xaya和以3,5,4,2MN为端点的线段相交，则实数a的取值范围是（）A．1aB．11aC．1a或1aD．1a或1a或0a变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知2,3A，3,2B，直线l过点1,1P且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．4k或34kB．344kC．14k或43kD．344k变式10．（2023·全国·高三对口高考）已知点1,1,2,2PQ，若直线:l0xmym与PQ的延长线（有方向）相交，则m的取值范围为．变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知(1,2)A,(2,4)B，点(,)Pxy是线段AB上的动点，则yx的取值范围是.变式12．（2023·全国·高三专题练习）Pxy，在线段AB上运动，已知2452AB，，，，则11yx的取值范围是.【解题方法总结】一般地，若已知112200,,,,,AxyBxyPxy，过P点作垂直于x轴的直线l，过P点的任一直线l的斜率为k，则当l与线段AB不相交时，k夹在PAk与PBk之间；当l与线段AB相交时，k在PAk与PBk的两边．题型四：直线的方程例10．（2023·全国·高三专题练习）过点1,2且方向向量为()1,2-的直线的方程为（）A．240xyB．30xyC．230xyD．230xy例11．（2023·全国·高三专题练习）过点1,4A的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．30xyB．50xyC．40xy或50xyD．40xy或30xy例12．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）对方程623yx表示的图形，下列叙述中正确的是（）A．斜率为2的一条直线B．斜率为12的一条直线C．斜率为2的一条直线，且除去点（3,6）D．斜率为12的一条直线，且除去点（3,6）变式13．（2023·全国·高三专题练习）经过点(1,0)P且倾斜角为60的直线的方程是（）A．310xyB．330xyC．330xyD．310xy变式14．（2023·全国·高三专题练习）方程10yaxaa表示的直线可能是（）A．B．C．D．变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线40kxyk在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A．270xyB．270xyC．260xyD．260xy变式16．（2023·全国·高三专题练习）若直线l的方程acyxbb中，0ab，0ac，则此直线必不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l的倾斜角为60，且l在y轴上的截距为1，则直线l的方程为（）A．313yxB．313yxC．31yxD．31yx【解题方法总结】要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题例13．（2023·全国·高三专题练习）若一条直线经过点2,2A，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为.例15．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l的方程为：212430mxmym．(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线1l，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l的方程．变式18．（2023·全国·高三专题练习）直线l过点(1,2)M，且分别与,xy轴正半轴交于A、B两点，O为原点.(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)求2OAOB的最小值及此时直线l的方程.变式19．（2023·全国·高三专题练习）在