重难点突破05 求曲线的轨迹方程（十大题型）（原卷版）

重难点突破05求曲线的轨迹方程目录一．直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设轨迹上的任一点,Pxy（3）列式：列出有限制关系的几何等式（4）代换：将轨迹所满足的条件用含,xy的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为,xy的方程式化简（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．二．定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．三．相关点法求动点的轨迹方程如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)Pxy，用(,)xy表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．四．交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．五．参数方程法求动点的轨迹方程动点(,)Mxy的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()xfyg，再消参.六．点差法求动点的轨迹方程圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)AxyBxy的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点(,)Pxy的坐标满足122xxx，122yyy且直线AB的斜率为2121yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程．题型一：直接法例1．（2023·甘肃平凉·高三统考期中）动点P与定点(),1,01,0AB的连线的斜率之积为1，则点P的轨迹方程是.例2．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆A：22(3)1xy，过动点P作圆A的切线PB（B为切点），使得3PB，则动点P的轨迹方程为.例3．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线1:2320lxy和2:3230lxy，有一动圆与1l及2l都相交，并且1l、2l被截在圆内的两条弦长分别是26和24，则动圆圆心的轨迹方程是．变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点122,0,2,0FF，且曲线1C上的任意一点P都满足125PFPF．则曲线1C的轨迹方程为.变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上的动点P到点(0,0)O和(2,0)A的距离之比为32，则点P的轨迹方程为.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上一定点(2,0)C和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且1()2PCPQ·1()2PCPQ=0．则动点P的轨迹方程为；题型二：定义法例4．（2023·全国·高三专题练习）若1(0,3)F，2(0,3)F，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是例5．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知圆M与圆22:1Oxy内切，且圆M与直线2x相切，则圆M的圆心的轨迹方程为．例6．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆22:(1)1Mxy，圆22:125Nxy，动圆P与圆M外切并与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为变式4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知HMN△的周长是18，M，N是x轴上关于原点对称的两点，若6MN，动点G满足0GMGNGH.则动点G的轨迹方程为；变式5．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点2,0N，且与圆22:28Mxy外切，则动圆P圆心,Pxy的轨迹方程为.变式6．（2023·全国·高三专题练习）ABC中，A为动点，2,0B，2,0C且满足sinsin2sinCBA，则A点的轨迹方程为．变式7．（2023·全国·高三专题练习）一个动圆与圆221:(3)1Cxy外切，与圆22:(3)81Cxy内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为．变式8．（2023·全国·高三对口高考）已知1,02A，B是圆221:42Fxy（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知定点(1,0)R，圆22:2150Sxyx，过R点的直线1L交圆于M，N两点过R点作直线2//LSN交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆22:1Oxy，直线:20lxy，过l上的点P作圆O的两条切线，切点分别为,AB，则弦AB中点M的轨迹方程为.变式11．（2023·吉林白山·高三抚松县第一中学校考阶段练习）设O为坐标原点，2,0F，点A是直线2x上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为．变式12．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知圆221:116Axy，直线1l过点21,0A且与圆1A交于点B，C，线段BC的中点为D，过2AC的中点E且平行于1AD的直线交1AC于点P．(1)求动点P的轨迹方程；题型三：相关点法例7．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆2212516xy上的任意一点，O为原点，M满足12OMOP，则点M的轨迹方程为．例8．（2023·福建泉州·高三校考开学考试）M是圆22:1Cxy上的动点，点2,0N，则线段MN的中点P的轨迹方程是.例9．（2023·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点(4,2)A和曲线224xy上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为．变式13．（2023·全国·高考真题）设P为双曲线2214xy上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为．变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的顶点3,0B，1,0C，顶点A在抛物线2yx=上运动，则ABC的重心G的轨迹方程为．变式15．（2023·全国·高三专题练习）设过点,Pxy的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若2BPPA，且1OQAB，则点P的轨迹方程是．变式16．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，0GAGBGC，ACGABABPGAAC，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得GIAB，则顶点C的轨迹方程为．题型四：交轨法例10．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）已知直线1:(2)lymx，2:20lxmym，当任意的实数m变化时，直线1l与2l的交点的轨迹方程是．例11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点F到准线的距离为2，直线:4lykx与抛物线C交于,PQ两点，过点,PQ作抛物线C的切线12,ll，若12,ll交于点M，则点M的轨迹方程为.例12．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知A，B分别为椭圆22143xy的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为.变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知MN是椭圆222210xyabab中垂直于长轴的动弦，,AB是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和NB的交点P的轨迹方程为．变式18．（2023·全国·高三专题练习）直线l在x轴上的截距为0aa且交抛物线220ypxp于A、B两点，点O为抛物线的顶点，过点A、B分别作抛物线对称轴的平行线与直线xa交于C、D两点．分别过点A、B作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：28xy，焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，分别作抛物线C在A，B处的切线，且两切线交于点P，则点P的轨迹方程为：．变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知点(3,0)M，(3,0)N，(1,0)B，动圆C与直线MN切于点B，分别过点,MN且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为.变式21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是.变式22．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过4,04,02,3ABC､､三点.(1)求椭圆E的方程；(2)若过右焦点2F的直线l（斜率不为0）与椭圆E交于MN､两点，求直线AM与直线BN的交点的轨迹方程.变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：222210xyabab的离心率为32，且经过31,2M，经过定点1,0T斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.变式24．（2023·山西阳泉·高三统考期末）已知过点8,0H的直线交抛物线2:8Eyx于,AB两点，O为坐标原点．(1)证明：OAOB；(2)设F为抛物线的焦点，直线AB与直线4x交于点M，直线MF交抛物线与,CD两点（,AC在x轴的同侧），求直线AC与直线BD交点的轨迹方程．变式25．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）直线l在x轴上的截距为0aa且交抛物线220ypxp于A，B两点，点O为抛物线的顶点，过点A，B分别作抛物线对称轴的平行线与直线xa交于C，D两点．(1)当2ap时，求AOB的大小；(2)试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由；(3)分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)Cypxp过点(1,2)，直线:20lxmy与抛物线C交于A，B两点.(1)若||46AB，求直线l的方程；(2)过点(2,0)作直线1l和2l，其中1l交C于M，N两点，2l交C于P，Q两点，M，P位于x轴的同侧，Q，N位于x轴的同侧，求直线MP与直线QN交点的轨迹方程.变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线2:20Cypxp的内接等边三角形AOB的面积为33（其中O为坐标原点）．（1）试求抛物线C的方程；（2）已知点1,1,,MPQ两点在抛物线C上，MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形．①求证：直线PQ恒过定点；②过点M作直线PQ的垂线交PQ于点N，试求点N的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．题型五：参数法例13．（2023·全国·高三专题练习）方程22242340xytxtyt(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是(结果化为普通方程)例14．（2023·全国·高三专题练习）已知2cos,4sinA，2sin,4cosB，当R时，线段AB的中点轨迹方程为．例