重难点突破04 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型（十九大题型）（原卷版）

重难点突破04轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型目录求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,FF为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，1,PFacac；12,FF为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，1PFca．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,FF为椭圆22221xyab的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若12FPF，则椭圆离心率e的取值范围为sin12e．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式例1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1C与双曲线2C共焦点，双曲线2C实轴的两顶点将椭圆1C的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线2C的离心率为（）A．3B．2C．5D．6例2．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，经过2F的直线交椭圆C于,PQ两点，O为坐标原点，且2220,2OPOFPQPFFQ，则椭圆C的离心率为.例3．（2023·海南海口·高三统考期中）已知双曲线2222:10,0xyCabab的左顶点为A，右焦点为,0Fc，过点A的直线l与圆222xcyca相切，与C交于另一点B，且π6BAF，则C的离心率为（）A．3B．52C．2D．32变式1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为F的椭圆E：222210xyabab上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BFAC于点F，且3BFCF，则E的离心率是（）A．22B．75C．32D．12变式2．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若||23ABb，则C的离心率为变式3．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）双曲线2222:1,0xyCabab的左焦点为F，直线FD与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段FD的两个三等分点，且22OAOBa（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为.变式4．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知A是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点，点(2,3)P在C上，F为C的左焦点，若APF的面积为92，则C的离心率为．变式5．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.变式6．（2023·陕西西安·校考三模）已知双曲线C：22221xyab0,0ab的左焦点为F，过F的直线与圆222xya相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若2PQQF，则双曲线C的离心率为.变式7．（2023·河北·高三校联考期末）双曲线C：22221(0,0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，过A且垂直于x轴的直线交C的渐近线于点P，PO恰为PFA的角平分线，则C的离心率为．题型二：圆锥曲线第一定义例4．（2023·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知12,FF分别为双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于,AB两点（点A在第一象限），延长2AF交E于点C，若212π,3BFACFBF，则双曲线E的离心率为．例5．（2023·山西大同·高三统考开学考试）已知椭圆221221(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，点,PQ为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF，且四边形12PFQF的面积为249a，则C的离心率为．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10yxEabab的上、下焦点分别为1F、2F，焦距为23，与坐标轴不垂直的直线l过1F且与椭圆E交于A、B两点，点P为线段2AF的中点，若2290ABFFPB，则椭圆E的离心率为．变式8．（2023·全国·高三专题练习）1F，2F是椭圆E：222210 xyabab的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足1245FMNFMN，1234NFNF，则椭圆E的离心率为.变式9．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，过1F斜率为34的直线与C的右支交于点P，若线段1PF恰被y轴平分，则C的离心率为（）A．12B．233C．2D．3变式10．（2023·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知1F，2F分别为双曲线Ε：222210,0xyabab的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长2AF交E于点C，若2BFAC，12π3FBF，则双曲线E的离心率为（）A．3B．2C．5D．7变式11．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：22221xyab（0a，0b），斜率为3的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（）A．312B．31C．231D．232变式12．（2023·河南·统考模拟预测）已知双曲线222:1(0)8yxEaa的上焦点为1F，点P在双曲线的下支上，若(4,0)A，且1||PFPA的最小值为7，则双曲线E的离心率为（）A．2或69725B．3或69725C．2D．3变式13．（2023·全国·高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左､右焦点分别为12,FF，从2F发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且5cos,013BACABBD，则E的离心率为（）A．173B．375C．102D．5变式14．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且3CFFB，点B关于原点O的对称点为点A，若0AFBF，则双曲线E的离心率为（）A．3B．233C．103D．102变式15．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别为1F，2F，直线ykx与C交于P，Q两点，110PFQF，且2PFQ△的面积为24a，则C的离心率是（）A．3B．5C．2D．3题型三：圆锥曲线第二定义例7．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线.则方程22(4)12545xyx表示的圆锥曲线的离心率e等于（）A．15B．45C．54D．5例8．（2023·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线22221(,0)xyabab的左、右焦点分别为12FF，P为左支上一点，P到左准线的距离为d，若d、1||PF、2||PF成等比数列，则其离心率的取值范围是（）A．[2，)B．(1，2]C．[12，)D．(1，12]例9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若4AFFB，则C的离心率为（）A．58B．65C．75D．95题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）例10．（2023·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：222210,0xyabab虚轴的一个顶点为D，直线3xa与C交于A，B两点，若ABD△的垂心在C的一条渐近线上，则C的离心率为.例11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：222210xyabab的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为13c．若直线l与直线PF的斜率之积等于316，则C的离心率为．例12．（2023·山东济南·高三统考开学考试）已知椭圆C：222210xyabab的上顶点为B，两个焦点为1F，2F，线段2BF的垂直平分线过点1F，则椭圆的离心率为．变式16．（2023·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线:E222210,0xyabab与直线ykx相交于A，B两点，点P为双曲线E上的一个动点，记直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，若1214kk，且双曲线E的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线E的离心率为．变式17．（2023·山东·高三校联考开学考试）如图，A，B分别是椭圆2222:10xyCabab的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（）A．33B．12C．32D．34题型五：利用数形结合求解例13．（2023·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左､右焦点分别为12,FF，从2F发出的光线经过图2中的,AB两点反射后，分别经过点C和D，且12tan5CAB，2||?BDADBD，则双曲线E的离心率为（）A．65B．375C．2105D．143例14．（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，点M在C上，若C的离心率2,12e，则使12MFF△为直角三角形的点M有（）个A．2B．4C．6D．8例15．（2023·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）过双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左焦点F作222xya的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若3FAFT，则双曲线E的离心率为（）A．3B．5C．132D．152变式18．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点00,Pxy是椭圆2222:1(0)xyCabab上的一点，12,FF是C的两个焦点，若120PFPF，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．20,2B．20,2C．2,12D．2,12题型六：利用正弦定理例16．（2023·全国·高三专题练习）已知1F，2F分别为椭圆2222:10xyEabab的两个焦点，P是椭圆E上的点，12PFPF，且2112sin3sinPFFPFF??，则椭圆E的离心率为（）A．102B．104C．52D．54例17．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆222210xyabab的