重难点突破13 切线与切点弦问题 （五大题型）（原卷版）

重难点突破13切线与切点弦问题目录1、点00Mxy，在圆222xyr上，过点M作圆的切线方程为200xxyyr．2、点00Mxy，在圆222xyr外，过点M作圆的两条切线，切点分别为AB，，则切点弦AB的直线方程为200xxyyr．3、点00Mxy，在圆222xyr内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过AB，作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线200xxyyr．4、点00Mxy，在圆222()()xaybr上，过点M作圆的切线方程为200()()xaxaybybr．5、点00Mxy，在圆222()()xaybr外，过点M作圆的两条切线，切点分别为AB，，则切点弦AB的直线方程为200()()xaxaybybr．6、点00Mxy，在圆222()()xaybr内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过AB，作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为200()()xaxaybybr．7、点00Mxy，在椭圆2222xyab1(0)ab上，过点M作椭圆的切线方程为00221xxyyab．8、点00Mxy，在椭圆2222xyab1(0)ab外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为AB，，则切点弦AB的直线方程为00221xxyyab．9、点00Mxy，在椭圆2222xyab1(0)ab内，过点M作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过AB，作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线02xxa021yyb．10、点00Mxy，在双曲线2222xyab1(00)ab，上，过点M作双曲线的切线方程为00221xxyyab．11、点00Mxy，在双曲线22xa221(00)yabb，外，过点M作双曲线的两条切线，切点分别为AB，，则切点弦AB的直线方程为00221xxyyab．12、点00Mxy，在双曲线22xa221(00)yabb，内，过点M作双曲线的弦AB（不过双曲线中心），分别过AB，作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线00221xxyyab．13、点00Mxy，在抛物线2y2(0)pxp上，过点M作抛物线的切线方程为00yypxx．14、点00Mxy，在抛物线2y2(0)pxp外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为AB，，则切点弦AB的直线方程为00yypxx．15、点00Mxy，在抛物线2y2(0)pxp内，过点M作抛物线的弦AB，分别过AB，作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线00yypxx．题型一：切线问题例1．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)Eypxp，焦点为F.过抛物线外一点P（不在x轴上）作抛物线C的切线,PAPB，其中AB、为切点，两切线分别交y轴于点,CD.(1)求CACF的值；(2)证明：①FP是FA与FB的等比中项；②FP平分AFB.例2．（2023·江西·高三校联考开学考试）已知抛物线2:8Cxy，F为C的焦点，过点F的直线l与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T．(1)当l的斜率为1时，求HI；(2)证明：FTHI．例3．（2023·湖北·高三校联考开学考试）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，过F作斜率为(0)kk的直线l与C交于,AB两点，当2k时，6AB.(1)求抛物线C的标准方程；(2)设线段AB的中垂线与x轴交于点P，抛物线C在,AB两点处的切线相交于点Q，设,PQ两点到直线l的距离分别为12,dd，求12dd的值.变式1．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且8AB．(1)求抛物线E的方程；(2)设1,Pm为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为PMk和PNk．求证：PMPNkk为定值．变式2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的两焦点分别为123,0,3,0FF，A是椭圆E上一点，当12π3FAF时，12FAF的面积为33.(1)求椭圆E的方程；(2)直线1111:200lkxykk与椭圆E交于MN，两点，线段MN的中点为P，过P作垂直x轴的直线在第二象限交椭圆E于点S，过S作椭圆E的切线2l，2l的斜率为2k，求12kk的取值范围.变式3．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知椭圆2222:1(0)xyEabab经过点0,2，且离心率为63，F为椭圆E的左焦点，点P为直线:3lx=上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF．(1)证明：直线AB经过定点2,0M；(2)若记AFM△、BFM的面积分别为1S和2S，当12SS取最大值时，求直线AB的方程．参考结论：00,Qxy为椭圆22221xyab上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为00221xxyyab．题型二：切点弦过定点问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线l2：3460xy，且l2与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2．(1)求抛物线C的方程；(2)点M在直线l1上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P1，P2，在平面内是否存在定点N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．例5．（2023·福建宁德·校考一模）双曲线2222:1xyCab的离心率为2，右焦点F到渐近线byxa的距离为2．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过直线1x上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线byxa于A，B两点，证明：以AB为直径的圆恒过右焦点F．例6．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点到准线的距离为1．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点,1Pt是该抛物线上一定点，过点P作圆222:(2)Oxyr（其中01r）的两条切线分别交抛物线C于点,AB，连接AB．探究：直线AB是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．变式4．（2023·陕西·校联考三模）已知直线l与抛物线2:2(0)Cxpyp交于A，B两点，且OAOB，ODAB，D为垂足，点D的坐标为(1,1)．(1)求C的方程；(2)若点E是直线4yx上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP，EQ，其中P，Q为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标．变式5．（2023·贵州·校联考二模）抛物线21:20Cypxp的焦点到准线的距离等于椭圆222:161Cxy的短轴长．(1)求抛物线1C的方程；(2)设1,Dt是抛物线1C上位于第一象限的一点，过D作222:2Exyr（其中01r）的两条切线，分别交抛物线1C于点M,N,证明：直线MN经过定点．变式6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2，圆224xy与椭圆C恰有两个公共点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知结论：若点00,xy为椭圆22221xyab上一点，则椭圆在该点处的切线方程为00221xxyyab．若椭圆C的短轴长小于4，过点(8,)Tt作椭圆C的两条切线，切点分别为,AB，求证：直线AB过定点．变式7．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知0,1P在椭圆222Γ:1(02)4xybb上，圆222:(1)(0)Cxyrr，圆C在椭圆Γ内部.(1)求r的取值范围；(2)过0,1P作圆C的两条切线分别交椭圆Γ于,AB点（,AB不同于P），直线AB是否过定点？若AB过定点，求该定点坐标；若AB不过定点，请说明理由.题型三：利用切点弦结论解决定值问题例7．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1和抛物线2有相同的焦点(1,0)，椭圆1的离心率为12，抛物线2的顶点为原点.(1)求椭圆1和抛物线2的方程；(2)设点P为抛物线2准线上的任意一点，过点P作抛物线2的两条切线PA，PB，其中,AB为切点.设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值.例8．（2023·全国·高三专题练习）已知F是抛物线C：220xpyp的焦点，以F为圆心，2p为半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且43AB.(1)求抛物线C和圆F的方程；(2)若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，请问MFNF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：220ypxp的焦点为F，过点F引圆M：221114xy的一条切线，切点为N，192FN.(1)求抛物线C的方程；(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得APQ△的面积为332？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合.(1)求抛物线C和圆M的方程；(2)设000,2Pxyx为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点1122,,,AxyBxy和点3344,,,QxyRxy.且123416yyyy，证明：点P在一条定曲线上.变式9．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线2:20Cxpyp的焦点为F，P为抛物线上一动点，点P到F的最小距离为1．(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点1,2A向C作两条切线AM，AN，切点分别为M，N，直线AF与直线MN交于点Q，求证：点Q到直线FM的距离等于到直线FN的距离．变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知点2,Pm在抛物线2:2(0)Cxpyp上，且到抛物线C的焦点F的距离为2.(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点1,2A向抛物线C作两条切线,AMAN，切点分别为,MN，若直线AF与直线MN交于点Q，且点Q到直线FM､直线FN的距离分别为12,dd.求证：12dd为定值.变式11．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）在以(2,0)A为圆心，6为半径的圆A内有一点(2,0)B，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP交于点M．(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；(2)记点M的轨迹为曲线Γ，过点B的直线与曲线Γ交于C、D两点，求OCOD的最大值；(3)在圆2214xy上的任取一点Q，作曲线Γ的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，并给出证明过程．变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知拋物线2:2(0)Cypxp，F为焦点，若圆22:(1)16Exy与拋物线C交于,AB两点，且43AB(1)求抛物线C的方程；(2)若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作拋物线C的两条切线,PMPN，切点分别为,MN.求证：MFNF恒为定值.变式13．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知抛物线21:Cxy，圆222:(4)1,CxyP是1C上异于原点的一点.(1)设Q是2C上的一点，求PQ的