第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（测试）（原卷版）

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从正整数1，2，……10中任意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为（）A．19B．645C．745D．8452．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数的和”，如40337.在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是(注：若一个大于1的整数除了1和它本身外无其他因数，则称这个整数为素数)（）A．115B．117C．122D．1263．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov,XYEXYEXEY，已知X，Y的分布列如下表所示，其中01p，则Cov,XY的值为（）X12Pp1pY12P1ppA．0B．1C．2D．44．已知A，B，C为三个随机事件且PA，PB，PC0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是（）A．35B．23C．1730D．126．下列说法中正确的是（）①设随机变量X服从二项分布16,2B，则5316PX②已知随机变量X服从正态分布22,N且40.9PX，则020.4PX③2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有180种；④2323EXEX，(23)4()DXDX.A．②③B．②③④C．①②④D．①②7．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球*Nn，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为920，设X为取出白球的个数，则EX（）A．32B．12C．1D．28．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)，收到0的概率为1；发送1时，收到0的概率为(01)，收到1的概率为1．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)D．当00.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．给定事件,,ABC，且0PC，则下列选项正确的是（）A．若1PACPBC，则A，B互为对立事件B．若0PA，0PB且A，B互斥，则A，B不可能相互独立C．(|)(|)(|)PABCPACPBCD．若A，B为相互独立事件且1PAPB，则PABPAB10．甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是（）A．若从甲盒中一次性取出2个球，记X表示取出白球的个数，则3(1)10PXB．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为1325C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为54125D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记B：从乙盒中取出的1球为白球，则13()30PB11．若随机变量2~,XN，则（）A．X的密度曲线与y轴只有一个交点B．X的密度曲线关于x对称C．233PXPXD．若XY，则0EY，1DY12．学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此反复.记某同学第n天选择A套餐的概率为nA，选择B套餐的概率为nB.一个月（30天）后，记甲､乙､丙三位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法中正确的是（）A．1nnABB．数列25nA是等比数列C．1.5EXD．361125PX第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们不在同一岗位的概率为.14．若随机变量23,,3,XBpYN，若10.657,(13)PXPYp，则(5)PY．15．甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是01pp，且各局比赛结果相互独立.若甲以3:1获胜的概率不高于甲以3:2获胜的概率，则p的取值范围为.16．某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中次．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分40,505060，6070，7080，8090，90100，心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)的市民为400人.(1)求n的值及频率分布直方图中t的值；(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在40,50的市民心理等级转为“良好”的概率为14，调查评分在50,60的市民心理等级转为“良好”的概率为13，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?18．（12分）随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.(1)根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布,169N，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）(3)现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分.若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为45，57，12，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期E.（参考数据：若2~,XN，则0.6826PX，220.9544PX，330.9974PX.19．（12分）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．设第n次传球后，甲接到球的概率为na，(1)试证明数列13na为等比数列；(2)解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．20．（12分）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负．(1)若乙得6分的概率18p，求p；(2)由（1）问中求得的p值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？21．（12分）(1)对于任意两个事件,AB，若0PA，0PB，证明：PBAPABPAPBAPAPAB；(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设1A，2A，…，nA是一组两两互斥的事件，12nAAA，且0iPA，1i，2，…，n，则对任意的事件B，0PB，有1iiiiinkkkPAPBAPAPBAPABPBPAPBA，1i，2，…，n.（i）已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量C进行肺癌筛查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性（无病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他真的患肺癌的概率是多少？（ii）为了确保诊断无误，一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时，此人患肺癌的概率就不再是1%，这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患肺癌的概率进行修正，因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率，请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性，则他真的患肺癌的概率是多少？22．（12分）某闯关游戏由两道关卡组成，现有n名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为12，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第1,2,3,,1iin位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第i轮闯关失败，由第1i+位选手继续挑战.③若第1,2,3,,1iin位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关