重难点突破01 概率与统计的综合应用（十八大题型）（原卷版）

重难点突破01概率与统计的综合应用目录题型一：决策问题例1．（2023·甘肃兰州·高三兰化一中校考期中）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为13，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为16，25，n，其中01n．(1)若13n，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求n的范围．例2．（2023·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为23，甲与丙比赛，甲赢的概率为p，其中1223p．(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金6万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金3.6万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望EX的取值范围．例3．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为(300500)aa元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，商品日销售量（单位：件）678910甲平台的天数1426262410乙平台的天数1025352010假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据．．．．．．中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．变式1．（2023·江西·校联考模拟预测）某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定4个问题，假设李明能且只能对其中3个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为34.由李明和王华各自从中随机抽取2个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立.(1)求李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率；(2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为X和Y，求,XY的期望EX､EY和方差DX､DY，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.变式2．（2023·全国·高三专题练习）根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.05．今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失20000元，为保护设备，有以下3种方案：方案1：修建保护围墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水；方案2：修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水；方案3：不采取措施工地的领导该如何决策呢？题型二：道路通行问题例4．（2023·重庆·高三重庆市育才中学校考阶段练习）9月6日位于重庆朝天门的来福士广场开业，成了网红城市的又一打卡胜地重庆育才谢家湾校区与来福士之间的驾车往返所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进行统计，结果如下：T（小时）0.80.911.1频数（次）10015020050以这500次驾车往返所需时间的频率代替某人1次驾车往返所需时间的概率．（1）记T的期望为()ET，求(())PTET；（2）某天有3位教师独自驾车从谢家校区返于来福士，记X表示这3位教师中驾车所用时间少于()ET的人数，求X的分布列与()EX．例5．（2023·湖北·统考一模）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为0,10，分别有五个级别：2)[0,T，畅通；2,4T，基本畅通；4,6T，轻度拥堵；6,8T，中度拥堵；8,10T，严重拥堵.在晚高峰时段（2T），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.例6．（2023·四川眉山·高三四川省眉山第一中学阶段练习）随着我国经济的不断深入发展，百姓的生活也不断的改善，尤其是近几年汽车进入了千家万户，这也给城市交通造成了很大的压力，为此交警部门通过对交通拥堵的研究提出了交通拥堵指数这一全新概念，交通拥堵指数简称交通指数，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为0,9，分别有5个级别：0,2T畅通；2,4T基本畅通；4,6T轻度拥堵；6,8T中度拥堵；8,9T严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从北京市交通指挥中心随机选取了五环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的部分频率分布直方图如图所示：（1）据此直方图估算交通指数T∈[4，8）时的中位数和平均数；（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．变式3．（2023·江西·校联考模拟预测）“低碳出行”，一种降低“碳”的出行，以低能耗、低污染为基础，是环保的深层次体现，在众多发达国家被广大民众接受并执行，S市即将投放一批公共自行车以方便市民出行，减少污染，缓解交通拥堵，现先对100人做了是否会考虑选择自行车出行的调查，结果如下表.（1）如果把45周岁以下人群定义为“青年”，完成下列22列联表，并问你有多少把握认为该地区市民是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关?年龄考虑骑车不考虑骑车15以下63[15,30)166[30,45)136[45,60)1416[60,75)5975以上15合计5545骑车不骑车合计45岁以下45岁以上合计100参考：22()()()()()nadbcKabaccdbd，nabcd2pKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.072.703.845.026.637.8710.82（2）S市为了鼓励大家骑自行车上班，为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道，该市市民小明家离上班地点10km，现有两种.上班方案给他选择；方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h的速度直达上班地点.方案二：开车以30km/h的速度上班，但要经过A、B、C三个易堵路段，三个路段堵车的概率分别是12，12，13，且是相互独立的，并且每次堵车的时间都是10分钟（假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶）若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由.变式4．（2023·全国·高三专题练习）某人某天的工作是驾车从A地出发，到,BC两地办事，最后返回A地，,,ABC,三地之间各路段行驶时间及拥堵概率如下表路段正常行驶所用时间（小时）上午拥堵概率下午拥堵概率AB10．30．6BC20．20．7CA30．30．9若在某路段遇到拥堵，则在该路段行驶时间需要延长1小时．现有如下两个方案：方案甲：上午从A地出发到B地办事然后到达C地，下午从C地办事后返回A地；方案乙：上午从A地出发到C地办事，下午从C地出发到达B地，办完事后返回A地．（1）若此人早上8点从A地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A地的概率．（2）甲乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后更早返回A地？请说明理由.题型三：保险问题例7．（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为A，B，C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：工种类别ABC赔付概率511052104110对于A，B，C三类工种，职工每人每年保费分别为a元､a元､b元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的15%，证明：153174200ab.（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，35a，60b，单位负责职工保费的80%，职工个人负责20%，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.例8．（2023·新疆克拉玛依·统考三模）已知某保险公司的某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费（元）0.9aa1.5a2.5a4a随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：出险次数01234频数2808024124该保险公司这种保险的赔付规定如下：出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上赔付金额（元）2.5a1.5aa0.5a0将所抽样本的频率视为概率．（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付2.51.5aaa元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付2.51.50.5aaaa元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值．例9．（2023·广东深圳·高三校联考期末）已知某保险公司的某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0123≥4保费（元）0.9aa1.5a2.5a4a随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：出险次数0123≥4频数2808024124该保险公司这种保险的赔付规定如下：出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上赔付金额（元）2.5a1.5aa0.5a0将所抽样本的频率视为概率.（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付2.51.5aaa元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；（3）续保人原定约了保险公司的销售人员在