2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.5　一元二次方程、不等式

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§1.5一元二次方程、不等式考试要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)，不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根不等式的解集{x|xx1，或xx2}{x|x≠－b2a}R2．分式不等式与整式不等式(1)fxgx0(0)⇔f(x)g(x)0(0)；(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|a(a0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|a(a0)的解集为(－a，a)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则a0.(√)(3)若ax2＋bx＋c0恒成立，则a0且Δ0.(×)(4)不等式x－ax－b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(×)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君教材改编题1．不等式x－3x－20的解集为()A．∅B．(2,3)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案B解析x－3x－20等价于(x－3)(x－2)0，解得2x3.2．已知2x2＋kx－m0的解集为(t，－1)(t－1)，则k＋m的值为()A．1B．2C．－1D．－2答案B解析因为2x2＋kx－m0的解集为(t，－1)(t－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2.3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋14≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．答案[1,3]解析∀x∈R，x2＋(a－2)x＋14≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3.题型一一元二次不等式的解法命题点1不含参数的不等式例1(1)不等式|x|(1－2x)0的解集是()A.－∞，12B.0，12C．(－∞，0)∪12，＋∞D．(－∞，0)∪0，12答案D解析原不等式等价于x≠0，1－2x0，即x12且x≠0，故选D.(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君正确的是()A．a0B．不等式bx＋c0的解集是{x|x－6}C．a＋b＋c0D．不等式cx2－bx＋a0的解集为－∞，－13∪12，＋∞答案ABD解析∵关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得－2＋3＝－ba，－2×3＝ca，则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a0，C选项错误；不等式bx＋c0即为－ax－6a0，解得x－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a0即为－6ax2＋ax＋a0，即6x2－x－10，解得x－13或x12，D选项正确．命题点2含参数的一元二次不等式例2已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.(1)若不等式f(x)0的解集为x－23x4，求a的值；(2)当a0时，求关于x的不等式f(x)0的解集．解(1)不等式f(x)0，即ax2＋(2－4a)x－80，可化为(ax＋2)(x－4)0.因为f(x)0的解集是x－23x4，所以a0且－2a＝－23，解得a＝3.(2)不等式f(x)0，即ax2＋(2－4a)x－80，因为a0，所以不等式可化为x＋2a(x－4)0，当4－2a，即－12a0时，原不等式的解集为4，－2a；当4＝－2a，即a＝－12时，原不等式的解集为∅；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君当4－2a，即a－12时，原不等式的解集为－2a，4.综上所述，当－12a0时，原不等式的解集为4，－2a；当a＝－12时，原不等式的解集为∅；当a－12时，原不等式的解集为－2a，4.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1解关于x的不等式．(1)2x－13x＋11；(2)m0时，mx2－mx－12x－3.解(1)移项得2x－13x＋1－10，合并得－x－23x＋10，等价于(3x＋1)(－x－2)0，即(3x＋1)(x＋2)0，解得－2x－13.所以不等式的解集为x－2x－13.(2)移项得mx2－(m＋2)x＋20，对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为2m和1，当0m2时，2m1，解得1x2m；当m＝2时，2m＝1，原不等式无解；当m2时，2m1，解得2mx1.综上所述，当0m2时，原不等式的解集为1，2m；当m＝2时，原不等式的解集为空集；当m2时，原不等式的解集为2m，1.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上恒成立问题例3(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－30恒成立，则实数k可以是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．0B．－24C．－20D．－2答案ACD解析当k＝0时，不等式即为－30，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则k0，Δ＝k2＋24k0⇒－24k0，于是－24k≤0，故选ACD.命题点2在给定区间上恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．答案－∞，67解析要使f(x)－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立．方法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．当m0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－60，所以m67，所以0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－60，所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是－∞，67.方法二因为x2－x＋1＝x－122＋340，又因为m(x2－x＋1)－60在x∈[1,3]上恒成立，所以m6x2－x＋1在x∈[1,3]上恒成立．令y＝6x2－x＋1，因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m67即可．所以m的取值范围是－∞，67.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君命题点3在给定参数范围内的恒成立问题例5(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析不等式x2＋px4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋30，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得f0＝x2－4x＋30，f4＝4x－1＋x2－4x＋30，解得x－1或x3.思维升华恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是()A．{a|a－2或a≥2}B．{a|－2a2}C．{a|－2a≤2}D．{a|a2}答案C解析因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40的解集为R.当a－2＝0，即a＝2时，－40，符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，需满足Δ＝[2a－2]2＋4×4×a－20，a－20，解得－2a2.综上，实数a的取值范围是{a|－2a≤2}．(2)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则()A．a≤2B．a≥2公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．a≤52D．a≥52答案C解析由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，得x2＋1x≥a在1≤x≤2上有解，则a≤x2＋1xmax，由于x2＋1x＝x＋1x，而y＝x＋1x在[1,2]上单调递增，故当x＝2时，x＋1x取得最大值52，故a≤52.课时精练1．(多选)与不等式x2－x＋20的解集相同的不等式有()A．x2＋x－20B．－x2＋x－20C．－x2＋x－20D．2x2－3x＋20答案CD解析对于不等式x2－x＋20，Δ＝1－4×2＝－70，故不等式x2－x＋20的解集为R.对于A项，不等式x2＋x－20可变形为(x－1)(x＋2)0，解得x－2或x1；对于B项，不等式－x2＋x－20即x2－x＋20，Δ＝1－4×2＝－70，故不等式－x2＋x－20的解集为∅；对于C项，不等式－x2＋x－20等价于x2－x＋20，满足条件；对于D项，对于不等式2x2－3x＋20，Δ＝9－4×220，故不等式2x2－3x＋20的解集为R.2．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋30”为真命题，则实数a的取值范围是()A．－1a2B．a≥1C．a－1D．－1≤a2答案D解析当a＝－1时，30成立；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君当a≠－1时，需满足a＋10，Δ＝4a＋12－12a＋10，解得－1a2.综上所述，－1≤a2.3．已知不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，则不等式2x2＋bx＋a0的解集为()A.x－1x12B.xx－1或x12C．{x|－2x1}D．{x|x－2或x1}答案A解析因为不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a0，即－1＋2＝－ba，(－1)×2＝2a，解得a＝－1，b＝1，则不等式可化为2x2＋x－10，解得－1x12，则不等式2x2＋bx＋a0的解集为x－1x12.4．(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2023(nm)，且α，β(αβ)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是()A．αmnβB．mαnβC．mαβnD．αmβn答案C解析∵α，β为方程y＝0的两个实数根，∴α，β为函数y＝(x－m)(x－n)＋2023的图象与x轴交点的横坐标，令y1＝(x－m)(x－n)，∴m，n为函数y1＝(x－m)(x－n)的图象与x轴交点的横坐标，易知函数y＝(x－m)(x－n)＋2023的图象可由y1＝(x－m)(x－n)的图象向上平移2023个单位长度得到，∴mαβn.5．(多选)已知a∈R，关于x的不等式ax－1x－a0的解集可能是()A．(1，a)B