2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.1　函数的概念及其表示

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§2.1函数的概念及其表示考试要求1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(×)(4)函数f(x)＝x－1，x≥0，x2，x0的定义域为R.(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD解析A中，当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A．y＝x－1与y＝x2－1x＋1B．y＝x－1与y＝－1xC．y＝2x2与y＝2xD．y＝2x－1与v＝2t－1答案D解析y＝x－1的定义域为R，y＝x2－1x＋1的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；y＝x－1＝1x与y＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确；y＝2x2＝2|x|与y＝2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确；y＝2x－1与v＝2t－1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D正确．3．已知函数f(x)＝lnx，x0，ex，x≤0，则函数ff13等于()A．3B．－3C.13D．－13答案C公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析由题意可知，f13＝ln13＝－ln3，所以ff13＝f(－ln3)＝e－ln3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为()A．(－4，－1)B．(－4,1)C．(－1,1)D．(－1,1]答案C解析由题意得x＋10，－x2－3x＋40，解得－1x1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋x＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f(x)的定义域为(－4，－2)，要使g(x)＝f(x－1)＋x＋2有意义，则－4x－1－2，x＋2≥0，解得－2≤x－1，∴函数g(x)的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．跟踪训练1(1)函数f(x)＝1lnx－1＋3－x的定义域为()A．(1,3]B．(1,2)∪(2,3]C．(1,3)∪(3，＋∞)D．(－∞，3)答案B解析由题意知x－10，x－1≠1，3－x≥0，所以1x2或2x≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，则函数g(x)＝f(x－1)＋2x－1的定义域是()A．{x|x2或x0}B.x12≤x2公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．{x|x2}D.xx≥12答案B解析要使f(x)＝lg1－x1＋x有意义，则1－x1＋x0，即(1－x)(1＋x)0，解得－1x1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．要使g(x)＝f(x－1)＋2x－1有意义，则－1x－11，2x－1≥0，解得12≤x2，所以函数g(x)的定义域为x12≤x2.题型二函数的解析式例2(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．解(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0,2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．(2)(配凑法)∵fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴a＝2，5a＋b＝17，解得a＝2，b＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝x2＋6xB．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f1x＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f－1x＝3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f－1x＝3x，①则f－1x＋2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)＝fx－1，x0，－lnx＋e＋2，x≤0，则f(2024)的值为()A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f(x)＝fx－1，x0，－lnx＋e＋2，x≤0，所以f(2024)＝f(2023)＝f(2022)＝…＝f(1)，又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2024)＝1.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)已知函数f(x)＝－x2－3x＋2，x－1，2x－3，x≥－1，若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f(a)＝4，则a－1，－a2－3a＋2＝4或a≥－1，2a－3＝4，解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，则a－1，－a2－3a＋2≥2或a≥－1，2a－3≥2，解得－3≤a－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝x＋2，x≤0，x＋1x，x0，若f(f(a))＝2，则a等于()A．0或1B．－1或1C．0或－2D．－2或－1答案D解析令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2，当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1，综上所述，a＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝log2x，x1，x2－1，x≤1，则f(x)f(x＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x≤0时，x＋1≤1，f(x)f(x＋1)等价于x2－1(x＋1)2－1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解得－12x≤0；当0x≤1时，x＋11，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)0，∴当0x≤1时，恒有f(x)f(x＋1)；当x1时，x＋12，f(x)f(x＋1)等价于log2xlog2(x＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f(x)f(x＋1)的解集为－12，＋∞.课时精练1．函数f(x)＝lg(x－2)＋1x－3的定义域是()A．(2，＋∞)B．(2,3)C．(3，＋∞)D．(2,3)∪(3，＋∞)答案D解析∵f(x)＝lg(x－2)＋1x－3，∴x－20，x－3≠0，解得x2，且x≠3，∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·三明模拟)已知集合A＝{x|－2x≤1}，B＝{x|0x≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是()A．f：x→y＝x＋1B．f：x→y＝exC．f：x→y＝x2D．f：x→y＝|x|答案B解析对于A，当x＝－1时，由f：x→y＝x＋1得y＝0，但0∉B，故A错误；对于B，因为从A＝{x|－2x≤1}中任取一个元素，通过f：x→y＝ex在B＝{x|0x≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B正确；对于C，当x＝0时，由f：x→y＝x2得y＝0，但0∉B，故C错误；对于D，当x＝0时，由f：x→y＝|x|得y＝0，但0∉B，故D错误．3．已知f(x3)＝lgx，则f(10)的值为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．1B.310C.13D.1310答案C解析令x3＝10，则x＝1310，∴f(10)＝lg1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是()答案A解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合．5．函数y＝1＋x－1－2x的值域为()A.－∞，32B.－∞，32C.32，＋∞D.32，＋∞答案B解析设1－2x＝t，则t≥0，x＝1－t22，所以y＝1＋1－t22－t＝12(－t2－2t＋3)＝－12(t＋1)2＋公众号：高中试卷君公众号：高中试卷