2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．常用结论1．象限角2．轴线角思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)－π3是第三象限角．(×)(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cosα＝－35.(√)(3)若sinα0，则α是第一或第二象限角．(×)(4)若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2.(√)教材改编题1.－660°等于()A．－133πradB．－256πradC．－113πradD．－236πrad公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案C解析－660°＝－660×π180rad＝－113πrad.2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．答案－4π解析某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π.3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sinα＝________，tanα＝________.答案－31313－32解析因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝22＋－32＝13.则sinα＝yr＝－313＝－31313，tanα＝yx＝－32.题型一角及其表示例1(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则()A．－α是第一象限角B.α2是第三象限角C.3π2＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上答案D解析因为α是第二象限角，可得π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ－α－π2－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；对于B，可得π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，α2位于第一象限；当k为奇数时，α2位于第三象限，所以B错误；对于C，可得2π＋2kπ3π2＋α5π2＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π3π2＋απ2＋2(k＋1)π，k∈Z，所以3π2＋α位于第一象限，所以C错误；对于D，可得π＋4kπ2α2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君延伸探究若α是第一象限角，则α2是第几象限角？解因为α是第一象限角，所以k·360°αk·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°α2k·180°＋45°，k∈Z，当k为偶数时，α2是第一象限角，当k为奇数时，α2是第三象限角．(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．答案－675°和－315°解析所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.思维升华确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．跟踪训练1(1)“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当α是第四象限角时，3π2＋2kπα2π＋2kπ，k∈Z，则3π4＋kπα2π＋kπ，k∈Z，即α2是第二或第四象限角．当α2＝3π4为第二象限角时，α＝3π2不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的充分不必要条件．(2)(2021·北京)若点P(cosθ，sinθ)与点Qcosθ＋π6，sinθ＋π6关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.答案5π12满足θ＝5π12＋kπ，k∈Z即可解析∵P(cosθ，sinθ)与Qcosθ＋π6，sinθ＋π6关于y轴对称，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君即θ，θ＋π6关于y轴对称，θ＋π6＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋5π12，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为5π12.题型二弧度制及其应用例2已知一扇形的圆心角为α(α0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧长；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．解(1)α＝35°＝35×π180rad＝736πrad，扇形的弧长l＝αr＝736π×8＝149π(cm)．(2)方法一由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0r8)，则S＝12lr＝12(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，当r＝4(cm)时，Smax＝16(cm2)，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝lr＝2，∴S的最大值是16cm2，此时扇形的半径是4cm，圆心角α＝2rad.方法二S＝12lr＝14l·2r≤14·l＋2r22＝16，当且仅当l＝2r，即r＝4(cm)时，S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．跟踪训练2某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0x10)，线段BA，CD与BC，AD的长度之和为30，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解(1)根据题意，可算得BC＝θx，AD＝10θ.因为AB＋CD＋BC＋AD＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，所以θ＝2x＋10x＋10(0x10)．(2)根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝12θ·(102－x2)＝12×2x＋5102－x2x＋10＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－x－522＋2254，当x＝52时，ymax＝2254.综上所述，当x＝52时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为2254.题型三三角函数的概念例3(1)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是()A．sinθ＝－217B．α为钝角C．cosα＝－277D．点(tanθ，sinα)在第一象限答案ACD解析角θ的终边经过点(－2，－3)，sinθ＝－217，A正确；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，3)，α为第二象限角，不一定为钝角，cosα＝－277，B错误，C正确；因为tanθ＝320，sinα＝2170，所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确．(2)已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cosθ＝35，则实数a的值是()A．－2B.211C．－2或211D．1答案B解析由题设可知，2a＋12a＋12＋a－22＝35且2a＋10，即a－12，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴4a2＋4a＋15a2＋5＝925，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝211，又a－12，∴a＝211.(3)若sinαtanα0，且cosαtanα0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案B解析由sinαtanα0，知α是第二象限或第三象限角，由cosαtanα0，知α是第一象限或第二象限角，所以角α是第二象限角．思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．跟踪训练3(1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sinα－cosα的值是()A．－355B.55C．－55D.355或－355答案D解析若α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则cosα＝aa2＋2a2＝a5|a|＝55，a0，－55，a0，sinα＝2aa2＋2a2＝2a5|a|＝255，a0，－255，a0，所以2sinα－cosα＝355，a0，－355，a0.(2)sin2cos3tan4的值()A．小于0B．大于0公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．等于0D．不存在答案A解析∵π223π43π2，∴sin20，cos30，tan40.∴sin2cos3tan40.(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sinθ＝336，则实数a的值为________．答案11解析根据三角函数的终边上点的定义可得，r＝1＋a2，所以sinθ＝aa2＋1＝3360，即a0且a2＝11，所以a＝11.课时精练1．与－2023°终边相同的最小正角是()A．137°B．133°C．57°D．43°答案A解析因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2．(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P－sinπ6，cosπ3，则cosθ等于()A.12B．－12C.22D．－22答案D解析由角θ的终边经过点P－sinπ6，cosπ3，即P－12，12，所以cosθ＝－1214＋14＝－22.3．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0α≤π)．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A.π2B.π4C.π8D.π16答案C解析由图可知，α＝18×2π＝π4，所以该扇形的面积S＝12×π4×12＝π8.4．(2023·惠州模拟)如果点P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析∵点P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，∴2sinθ0，sinθ·cosθ0，即sinθ0，cosθ0，∴角θ所在的象限是第二象限．5．(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转π3弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)()A．1069千米B．1119千米C