2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)使sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)(2)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.(×)(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(4)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．(×)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君教材改编题1．若cosα＝13，α∈－π2，0，则tanα等于()A．－24B.24C．－22D．22答案C解析由已知得，sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22.2．若sinα＋cosα＝22，则sinαcosα等于()A．－12B．－14C.22D．2答案B解析因为sinα＋cosα＝22，所以(sinα＋cosα)2＝12，即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝12，即1＋2sinαcosα＝12，所以sinαcosα＝－14.3．化简cosα－π2sin5π2＋α·cos(2π－α)的结果为．答案sinα解析原式＝sinαcosα·cosα＝sinα.题型一同角三角函数基本关系例1(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A．θ∈π2，πB．cosθ＝－45C．tanθ＝－34D．sinθ－cosθ＝75答案AD解析因为sinθ＋cosθ＝15，①公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125，则2sinθcosθ＝－2425，因为θ∈(0，π)，所以sinθ0，cosθ0，所以θ∈π2，π，故A正确；所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，所以sinθ－cosθ＝75，②故D正确；由①②联立可得，sinθ＝45，cosθ＝－35，故B错误；所以tanθ＝sinθcosθ＝－43，故C错误．(2)已知cosα＝－513，则13sinα＋5tanα＝.答案0解析∵cosα＝－5130且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sinα＝1－cos2α＝1－－5132＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝1213－513＝－125.此时13sinα＋5tanα＝13×1213＋5×－125＝0.②若α是第三象限角，则sinα＝－1－cos2α＝－1－－5132＝－1213，∴tanα＝sinαcosα＝－1213－513＝125，此时，13sinα＋5tanα＝13×－1213＋5×125＝0.综上，13sinα＋5tanα＝0.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(3)已知tanα＝2，则3sinα－2cosαsinα＋cosα＝；23sin2α＋14cos2α＝.答案43712解析因为tanα＝2，所以3sinα－2cosαsinα＋cosα＝3tanα－2tanα＋1＝3×2－22＋1＝43.23sin2α＋14cos2α＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2αsin2α＋cos2α＝23·tan2αtan2α＋1＋14·1tan2α＋1＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712.思维升华(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.跟踪训练1(1)(2023·苏州模拟)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则cos2α＋12sin2α等于()A.35B．－35C．－3D．3答案A解析由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，得tanα＋33－tanα＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝cos2α＋sinαcosαcos2α＋sin2α＝1＋tanα1＋tan2α＝35.(2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝23，则sinα－cosα的值为()A.23B．－23C.43D．－43答案C解析由诱导公式得，sin(π－α)＋cosα＝sinα＋cosα＝23，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝29，则2sinαcosα＝－790，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君因为α∈(0，π)，所以sinα0，所以cosα0，所以sinα－cosα0，因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝169，所以sinα－cosα＝43.题型二诱导公式例2(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()A．sin(3π－x)＝－sinxB．sinπ－x2＝－cosx2C．cos5π2＋3x＝sin3xD．cos3π2－2x＝－sin2x答案D解析sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sinx，sinπ－x2＝sinπ2－x2＝cosx2，cos5π2＋3x＝cosπ2＋3x＝－sin3x，cos3π2－2x＝－sin2x.(2)已知sinπ3－x＝13，且0xπ6，则sinπ6＋x－cos2π3＋x的值为．答案423解析∵0xπ6，∴π6π3－xπ3，∴cosπ3－x＝1－sin2π3－x＝223.∴sinπ6＋x＝sinπ2－π3－x＝cosπ3－x＝223，cos2π3＋x＝cosπ－π3－x＝－cosπ3－x＝－223.∴sinπ6＋x－cos2π3＋x＝423.思维升华诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君跟踪训练2(1)若sin3π－α－sin－3π2－αcosπ2＋α＋cos－π＋α＝13，则tanα等于()A.34B．－12C．－43D.12答案D解析因为sin3π－α－sin－3π2－αcosπ2＋α＋cos－π＋α＝13，所以sinα－cosα－sinα－cosα＝13，所以tanα－1－tanα－1＝13，解得tanα＝12.(2)已知cosπ4＋α＝45，则sinπ4－α的值为()A.35B．－35C.45D．－45答案C解析由cosπ4＋α＝45，得sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α＝45.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是()A.325B.357C.31010D.13答案C解析由已知得3sinβ－2tanα＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝910，又α为锐角，∴sinα0，则sinα＝31010.(2)已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－15.则sin2x＋2sin2x1－tanx＝.答案－24175公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析由已知得，sinx＋cosx＝15，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.因为(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，由－πx0知，sinx0，又2sinxcosx＝－24250，所以cosx0，所以sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.所以sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.思维升华(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．跟踪训练3(1)(2023·衡水模拟)已知sin3π2－α＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinαcosα等于()A.2110B.32C.32D．2答案D解析由诱导公式可得，sinα＝sin3π2－α＋cos(π－α)＝－2cosα，所以tanα＝－2.因此，2sin2α－sinαcosα＝2sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tan2α－tanαtan2α＋1＝105＝2.(2)已知sinα－2π3＝23，其中α∈π2，π，则cosα－π6＝，sin2α－π3＝.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案－23－459解析方法一令t＝α－2π3，所以sint＝23，α＝t＋2π3，所以cosα－π6＝cost＋2π3－π6＝cost＋π2＝－sint＝－23.因为α∈π2，π，所以α－π6∈π3，5π6，所以sinα－π6＝53，所以sin2α－π3＝sin2α－π6＝2sinα－π6cosα－π6＝2×53×－23＝－459.方法二因为sinα－2π3＝23，所以cosα－π6＝cosπ6－α＝sinπ2－π6－α＝sinπ3＋α＝sinπ－π3＋α＝sin2π3－α＝－sinα－2π3＝－23.以下同方法一．课时精练1．sin1620°等于()A．0B.12C．1D．－1答案A公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析由诱导公式，sin1620°＝sin(180°＋4×360°)＝sin180°＝0.2．(2023·济南模拟)已知α∈－π2，0，cosπ2＋α＝32，则tanα等于()A．－3B.3C．－33D.33答案A解析由已知条件得cosπ2＋α＝－sinα＝32，即sinα＝－32，∵α∈－π2，0，∴cosα＝1－sin2α＝1－34＝12，∴tanα＝sinαcosα＝－3212＝－3.3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x＋y＋3＝0平行，则sinα－cosαsinα＋cosα的值为()A．－2B．－14C．2D．3答案D解析因为角α的终边与直线2x＋y＋3＝0平行，即角α的终边在直线y＝－2x上，所以tanα＝－2，sinα