2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5.3　平面向量的数量积

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§5.3平面向量的数量积考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.3．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB→＝a，CD→＝b，过AB→的起点A和终点B，分别作CD→所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1—→，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1—→叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθe.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b0；若a·b0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b0；若a·b0，则a与b的夹角为钝角或π.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×)(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(×)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(√)(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(×)教材改编题1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于()A．1B.3C．3D．33答案C解析由题意可得a·b＝|a|·|b|cos30°＝2×3×32＝3.2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案233．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．答案555解析因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝12＋22＝5，|b|＝－32＋42＝5，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝55×5＝55.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知AB→＝DC→，P为CD上一点，CP→＝3PD→，|AB→|＝4，|AD→|＝3，AB→与AD→的夹角为θ，且cosθ＝23，则AP→·PB→等于()A．8B．－8C．2D．－2答案D解析如图所示，∵AB→＝DC→，∴四边形ABCD为平行四边形，∵CP→＝3PD→，∴AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋14AB→，PB→＝AB→－AP→＝34AB→－AD→，又∵|AB→|＝4，|AD→|＝3，cosθ＝23，则AB→·AD→＝4×3×23＝8，∴AP→·PB→＝AD→＋14AB→·34AB→－AD→＝12AB→·AD→－AD→2＋316AB→2＝12×8－9＋316×42＝－2.(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，BC→＝3BD→，AM→＝2AD→，则MC→·MB→＝________.答案22解析如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∵AB＝6，BC→＝3BD→，AM→＝2AD→，∴B(－3,0)，C(3,0)，M(－2，－33)，∴MB→＝(－1,33)，MC→＝(5,33)，∴MC→·MB→＝－5＋27＝22.思维升华计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1(1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则AP→·AC→的值为()A．－2B．2C．1D．4答案B解析设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，由AP→在AC→方向上的投影向量为AO→，得AP→·AC→＝AO→·AC→＝12AC→2＝2.(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若AB→·AC→＝2AB→·AD→，则AD→·AC→＝________.答案12解析因为AB→·AC→＝2AB→·AD→，所以AB→·AC→－AB→·AD→＝AB→·AD→，所以AB→·DC→＝AB→·AD→.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|AB→|＝|AB→||AD→|cosπ4，化简得|AD→|＝22.故AD→·AC→＝AD→·(AD→＋DC→)＝|AD→|2＋AD→·DC→＝(22)2＋22×2cosπ4＝12.题型二平面向量数量积的应用命题点1向量的模例2已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝3，则|a＋2b|等于()A．1＋23B.19C.13＋43D．32答案B解析根据向量的运算法则和数量积的定义，可得|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝12＋4×1×3×cos30°＋4×32＝19.命题点2向量的夹角例3若e1，e2是夹角为π3的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析由题意可得e1·e2＝1×1×cosπ3＝12，故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋e1·e2＋2e22＝－6＋12＋2＝－72，|a|＝2e1＋e22＝4e21＋4e1·e2＋e22＝7，|b|＝－3e1＋2e22＝9e21－12e1·e2＋4e22＝7，故cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－727×7＝－12，由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝2π3.命题点3向量的垂直例4(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案－34解析∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－34.思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝a·b|a||b|；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2(1)(多选)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝12，若向量a满足e1·a＝2，则下列选项正确的是()A．|e1－e2|＝1B．e1在e2上的投影向量的模为12C．e1与e1－e2的夹角为5π12D．a在e1上的投影向量为2e1答案ABD解析因为e1·e2＝1×1×cos〈e1，e2〉＝12，所以e1，e2的夹角为π3，设OA→＝e1，OB→＝e2，则BA→＝e1－e2，由此可得△OAB是一个等边三角形，所以〈e1，e1－e2〉＝π3，故C错误；|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，故|e1－e2|＝1，故A正确；因为e1在e2上的投影向量为e1·e2|e2|e2＝12e2，所以模为12，故B正确；设e1与a的夹角为θ，因为e1·a＝2＝|a|cosθ，所以a在e1上的投影向量为(|a|cosθ)e1＝2e1，故D正确．(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于()A．－6B．－5C．5D．6答案C解析由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即a·c|a||c|＝b·c|b||c|，即25＋3t5＝3＋t，解得t＝5，故选C.题型三平面向量的实际应用例5在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是()A．|G|＝|F1|＋|F2|B．当θ＝π2时，|F1|＝22|G|C．当θ角越大时，用力越省D．当|F1|＝|G|时，θ＝π3答案B解析根据题意可得G＝F1＋F2，则|G|＝|F1＋F2|＝|F1＋F2|2＝F21＋F22＋2F1·F2＝2F21＋2F21·cosθ，当θ＝0时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，当θ＝π2时，|G|＝2F21＋2F21·cosθ＝2|F1|，即|F1|＝22|G|，故A错误，B正确；|G|＝2F21＋2F21·cosθ，因为y＝cosθ在(0，π)上单调递减，且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；当|F1|＝|G|时，即|G|＝2F21＋2F21·cosθ＝|F1|，解得cosθ＝－12，又因为θ∈(0，π)，所以θ＝2π3，故D错误．思维升华用向量方法解决实际问题的步骤公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君跟踪训练3(2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4km/h，设v1和v2所成的角为θ(0θπ)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ等于()A．－215B．－25C．－35D．－45答案B解析由题意知(v1＋v2)·v2＝0，有|v1||v2|cosθ＋v22＝0，即10×4cosθ＋42＝0，所以cosθ＝－25.课时精练1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于()A．12B．122C．－122D．－12答案C解析由题意知m·n＝|m||n|cos135°＝4×6×－22＝－122.2．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于()A．5B．6C.41D．43答案A解析∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，∴λ＝4，∴a＋b＝(3,4)，|a＋b|＝32＋42＝5.3．已知a，b为非零向量，且3|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为()A.38B.316C.68D.616答案B解析将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a||b|cosθ＋3|b|2＝3|a|2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君将|a|＝23|b|代入8|a||b|cosθ＋3|b|2