2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　§7.6　空间向量的概念与运算

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§7.6空间向量的概念与运算考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量长度相等而方向相反的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角余弦值cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b234.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0常用结论1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(×)(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.(√)(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(×)教材改编题1.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB→＝a，AD→＝b，AA1—→＝c，则下列向量中与C1M—→相等的向量是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b－cD．－12a－12b＋c答案C解析C1M—→＝C1C—→＋CM→＝C1C—→＋12(CB→＋CD→)＝A1A—→＋12DA→＋12BA→＝－12a－12b－c.2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定答案B解析分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝2a3，所以Ma，23a，a3，N23a，23a，a，所以MN→＝－a3，0，23a，又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以C1D1—→＝(0，a,0)，所以MN→·C1D1—→＝0，所以MN→⊥C1D1—→.因为C1D1—→是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.答案10解析∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型一空间向量的线性运算例1(1)在空间四边形ABCD中，AB→＝(－3,5,2)，CD→＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF→的坐标为()A．(2,3,3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1)D．(－5,2，－1)答案B解析因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以EF→＝OF→－OE→，OF→＝12(OA→＋OD→)，OE→＝12(OB→＋OC→)．所以EF→＝12(OA→＋OD→)－12(OB→＋OC→)＝12(BA→＋CD→)＝12×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝12×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且AA1—→＝a，AB→＝b，AC→＝c，则A1D—→等于()A.12a＋12b＋12cB.12a－12b＋12cC.12a＋12b－12cD．－12a＋12b＋12c答案D解析A1D—→＝A1A—→＋AB→＋BD→＝－AA1—→＋AB→＋12(BB1—→＋BC→)＝－AA1—→＋AB→＋12AA1—→＋12(AC→－AB→)＝－12AA1—→＋12AB→＋12AC→公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝－12a＋12b＋12c.思维升华用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．跟踪训练1(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则x等于()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)答案B解析由b＝12x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简A1O—→－12AB→－12AD→＝________；②用AB→，AD→，AA1—→表示OC1—→，则OC1—→＝________.答案①A1A—→②12AB→＋12AD→＋AA1—→解析①A1O—→－12AB→－12AD→＝A1O—→－12(AB→＋AD→)＝A1O—→－AO→＝A1O—→＋OA→＝A1A—→.②因为OC→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)．所以OC1—→＝OC→＋CC1—→＝12(AB→＋AD→)＋AA1—→＝12AB→＋12AD→＋AA1—→.题型二空间向量基本定理及其应用例2(1)下列命题正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc答案C公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a,c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a,c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误．(2)(多选)下列说法中正确的是()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若AB→，CD→共线，则AB∥CDC．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，则P，A，B，C四点共面D．若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝λPB→＋μPC→(PB→，PC→不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件答案CD解析由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；若AB→，CD→共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，因为34＋18＋18＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝λPB→＋μPC→(PB→，PC→不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA→－PC→＝λ(PB→－PC→)，即CA→＝λCB→，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．思维升华应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→MP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→跟踪训练2(1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君任意一点，若BD→＝6PA→－4PB→＋λPC→，则λ等于()A．2B．－2C．1D．－1答案B解析BD→＝6PA→－4PB→＋λPC→，即PD→－PB→＝6PA→－4PB→＋λPC→，整理得PD→＝6PA→－3PB→＋λPC→，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足DE→＝xDA→＋yDC→＋(1－x－y)DD1—→，则|DE→|的最小值是()A.13B.23C.33D.23答案C解析因为DE→＝xDA→＋yDC→＋(1－x－y)DD1—→，由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以|DE→|的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为2的等边三角形，则1ACDS△＝12×(2)2×sinπ3＝32，S△ACD＝12×1×1＝12，由等体积法得11DACDDACDVV，所以13×32×d＝13×12×1，解得d＝33，所以|DE→|的最小值为33.题型三空间向量数量积及其应用例3(1)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量OA→＝(1,2,3)，OB→＝(2,1,2)，OP→＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当QA→·QB→取得最小值时，OQ→的坐标是______．答案43，43，83解析∵OP→＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，设OQ→＝λOP→＝(λ，λ，2λ)，又∵OA→＝(1,2,3)，OB→＝(2,1,2)，∴QA→＝OA→－OQ→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝OB→－OQ→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA→·QB→＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ