2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　§7.7　向量法求空间角

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§7.7向量法求空间角考试要求能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝|u·v||u||v|.2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝u·n|u||n|＝|u·n||u||n|.3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×)(3)两异面直线所成角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2.(√)(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sinθ＝cos〈u，n〉．(×)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君教材改编题1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则直线l与平面α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案A解析由于cos〈m，n〉＝－12，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与平面α所成的角为30°.2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为()A.24B.12C.22D.32答案C解析因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝s1·s2|s1||s2|＝－1－22×3＝－22.所以直线l1和l2所成角的余弦值为22.3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为()A.49B.94C.46565D.654答案D解析设平面α与平面β的夹角为θ0≤θ≤π2，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||n|＝49，则sinθ＝1－cos2θ＝1－492＝659，所以tanθ＝65949＝654.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型一异面直线所成的角例1(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为3，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为3，AB＝1，∴AA1＝3，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(1,1，3)，C(0,1,0)，D1(0,0，3)，AB1—→＝(0,1，3)，CD1—→＝(0，－1，3)，设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ＝|AB1—→·CD1—→||AB1—→||CD1—→|＝24×4＝12.又0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在AB上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为()A.34B.12C.14D.34答案A解析因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以∠BOD＝π3，连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设圆O的半径为2，则A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,23)，D(3，1,0)，AD→＝(3，3,0)，BC→＝(0，－2,23)，设异面直线AD与BC所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AD→，BC→〉|＝|AD→·BC→||AD→||BC→|＝|－6|23×4＝34，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为34.思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)注意两异面直线所成角的范围是0，π2，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．跟踪训练1(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．答案14解析设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则A(0,0，3)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(3，0,0)，所以AB→＝(0，－1，－3)，CD→＝(3，－1,0)，设异面直线AB和CD所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AB→，CD→〉|＝|AB→·CD→||AB→||CD→|＝12×2＝14，所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为14.(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，AF→＝λAD→(0λ1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3210，则λ的值为______．答案13解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，∴D1E—→＝(0,2，－1)，A1F—→＝A1A—→＋AF→＝A1A—→＋λAD→＝(－2λ，0，－2)．∴|cos〈A1F—→，D1E—→〉|＝|A1F—→·D1E—→||A1F—→||D1E—→|＝22λ2＋1×5＝3210，解得λ＝13λ＝－13舍去.题型二直线与平面所成的角例2(12分)(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝3.(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长](2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[关键点：建立空间直角坐标系求法向量]公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤跟踪训练2如图，在六面体PACBD中，△PAB是等边三角形，平面PAB与平面ABD所成角为30°，PC＝AB＝2AD＝2BD＝2AC＝2BC＝4.(1)证明：AB⊥PD；(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值．(1)证明取AB的中点M，连接PM，DM，如图，因为PA＝PB，DA＝DB，所以PM⊥AB，DM⊥AB，且PM∩DM＝M，PM，DM⊂平面PDM，所以AB⊥平面PMD，又PD⊂平面PMD，所以AB⊥PD.(2)解连接CM，则CM⊥AB，由AC＝BC＝22，PA＝PB＝AB＝4，可得CM＝2，PM＝23，于是CM2＋PM2＝16＝PC2，所以PM⊥CM，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又PM⊥AB，AB∩CM＝M，MC，AB⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，以M为原点，MC，MB，MP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则M(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,23)，由题意知∠CMD＝120°，可得D(－1,0，3)，平面PAB的一个法向量为n＝(1,0,0)，设BE→＝λBD→＝λ(－1，－2，3)，λ∈[0,1]，则CE→＝CB→＋BE→＝(－2－λ，2－2λ，3λ)，设CE与平面PAB所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，CE→〉|＝2＋λ1·－2－λ2＋2－2λ2＋3λ2，令2＋λ＝t，t∈[2,3]，则λ＝t－2，所以sinθ＝tt2＋6－2t2＋3t－22＝148t2－36t＋8，令f(t)＝48t2－36t＋8，t∈[2,3]，由对称轴1t＝38知，当1t＝38，即λ＝23时，f(t)min＝54，则(sinθ)max＝45＝255，于是(tanθ)max＝2.所以直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值为2.题型三平面与平面的夹角例3(2023·泰安模拟)如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝3.(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；(2)求平面ABE与平面BEC夹角的余弦值．(1)证明取BC的中点M，AB的中点N，连接DM，MN，EN.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴MN∥AC，MN＝12AC，又DE∥AC，DE＝12AC，∴DE∥MN，DE＝MN，∴四边形MNED是平行四边形，∴EN∥DM，EN＝DM，又AC⊥平面BCD，AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵DC＝DB，∴DM⊥BC，又平面ABC∩平面BCD＝BC，DM⊂平面BCD，∴DM⊥平面ABC，∴EN⊥平面ABC，又EN⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面ABC.(2)解由(1)知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CN，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，N(1,1,0)，E(1,1，2)，则CB→＝(0,2,0)，CN→＝(1,1,0)，CE→＝(1,1，2)，设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·CE→＝x＋y＋2z＝0，n·CB→＝2y＝0，取z＝2，则x＝－2，y＝0，∴n＝(－2,0，2)，又AC＝BC，则CN⊥AB，又平面ABC∩平面ABE＝AB，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABE，即CN→＝(1,1,0)为平面ABE的一个法向量，设平面ABE与平面BEC的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n，CN→〉|＝|n·CN→||n||CN→|＝|－2|2×6＝33，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴平面ABE与平面BEC夹角的余弦值为33.思维升华利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．跟踪训练3(2022·贵阳模拟)如图，AC，BD为圆柱OO′底面⊙O的两条直径，PA为圆柱OO′的一条母线，且AP＝AC.(1)证明：AB⊥PD；(2)若∠AOD＝π3，求平面DPC与平面PCB夹角的正弦值．(1)证明∵AC，BD为圆柱OO′底面⊙O的两条直径，∴∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，∵PA为圆柱OO′的一条母线，∴PA⊥AB，∵PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.(2)解以C为坐标原点，分别以CD，CB，过C的母线所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AP＝AC＝4，则BC＝2，AB＝23，CD＝23，则D(23，0,0)，B(0,2,0)，P(23，2,4)，C(0,0,0)，∴CD→＝(23，0,0)，CB→＝(0,2,0)，CP→＝(23，2,4)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，公众号：