2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　§7.9　空间动态问题突破[培优课]

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§7.9空间动态问题突破空间动态问题，是高考常考题型，常以客观题出现．常见题型有空间位置关系判定、轨迹问题、最值问题、范围问题等．题型一空间位置关系的判定例1(1)(2023·昆明模拟)已知P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点(不与顶点重合)，则下列结论错误的是()A．AB⊥PQB．平面BPQ∥平面ADD1A1C．四面体ABPQ的体积为定值D．AP∥平面CDD1C1答案C解析对于A，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵PQ⊂平面BCC1B1，∴AB⊥PQ，故A正确；对于B，∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BPQ与平面BCC1B1重合，∴平面BPQ∥平面ADD1A1，故B正确；对于C，∵A到平面BPQ的距离AB为定值，Q到BP的距离为定值，BP的长不是定值，∴四面体ABPQ的体积不为定值，故C错误；对于D，∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AP⊂平面ABB1A1，∴AP∥平面CDD1C1，故D正确．(2)(多选)已知等边△ABC的边长为6，M，N分别为边AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱锥A′－MNCB中，下列说法正确的是()A．直线MN∥平面A′BCB．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCBC．在折起过程中存在某个位置使BN⊥平面A′NCD．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为39π4答案AB公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析因为MN∥BC，MN⊄平面A′BC，BC⊂平面A′BC，所以直线MN∥平面A′BC，故A正确；因为四棱锥A′－MNCB的底面积为定值，所以当点A′到平面MNCB距离最大时，体积最大，此时平面A′MN⊥平面MNCB，满足题意，故B正确；对于C，如图，若BN⊥平面A′NC，则BN⊥AA′，又A′D⊥MN，AD⊥MN，A′D∩AD＝D，可知MN⊥平面A′AD，所以A′A⊥MN，又MN∩BN＝N，所以A′A⊥平面MNCB，这显然不可能，故C错误；当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB，如图，由∠MBC＝π3，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆的圆心，F是△A′MN的外心，作OE⊥平面MNCB，连接OF，则OF⊥平面A′MN，则O是四棱锥A′－MNCB外接球的球心，且OF＝DE＝332，A′F＝3，设四棱锥A′－MNCB外接球的半径为R，则R2＝A′F2＋OF2＝394.故球O的表面积为4πR2＝39π.故D错误．思维升华解决空间位置关系的动点问题(1)应用“位置关系定理”转化．(2)建立“坐标系”计算．跟踪训练1(2022·杭州质检)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．三棱锥A－A1PD的体积大小与点P的位置有关B．A1P与平面ACD1相交C．平面PDB1⊥平面A1BC1D．AP⊥D1C答案C解析对于选项A，11AAPDPAADVV.在正方体中，BC1∥平面AA1D，所以点P到平面AA1D的距离不变，即三棱锥P－AA1D的高不变，又△AA1D的面积不变，因此三棱锥P－AA1D的体积不变，即三棱锥A－A1PD的体积与点P的位置无关，故A不成立；对于选项B，由于BC1∥AD1，AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，同理可证BA1∥平面ACD1，又BA1∩BC1＝B，所以平面BA1C1∥平面ACD1，因为A1P⊂平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B不成立；对于选项C，因为A1C1⊥BD，A1C1⊥BB1，BD∩BB1＝B，所以A1C1⊥平面BB1D，则A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，又A1C1∩A1B＝A1，所以B1D⊥平面A1BC1，又B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面A1BC1，故C成立；对于选项D，当B与P重合时，AP与D1C的夹角为π4，故D不成立．题型二轨迹问题例2(1)(2023·韶关模拟)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若△APC1的面积S＝12，则动点P的轨迹是()A．圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．椭圆的一部分答案D解析设d是△APC1边AC1上的高，则1APCS△＝12·|AC1|·d＝32d＝12，所以d＝33，即点P到直线AC1的距离为定值33，所以点P在以直线AC1为轴，以33为底面半径的圆柱侧面上，直线AC1与平面ABCD既不平行也不垂直，所以点P的轨迹是平面ABCD上的一个椭圆，其公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君中只有一部分在正方形ABCD内．(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．答案2解析如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E，又C1G⊄平面CD1EF，D1E⊂平面CD1EF，所以C1G∥平面CD1EF.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1EF.因为C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.由M点是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，所以M点的轨迹长度GH＝12＋12＝2.思维升华解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定．(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算．(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．跟踪训练2(1)(2022·滨州模拟)如图，斜线段AB与平面α所成的角为π4，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝π6，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君设OB＝OA＝1，则B(0,1,0)，A(0,0,1)，P(x，y,0)，则AB→＝(0,1，－1)，AP→＝(x，y，－1)，所以cos〈AB→，AP→〉＝y＋12·x2＋y2＋1＝32，即x2＋y－223＝1，所以点P的轨迹是椭圆．(2)已知动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上运动，且PA＝r(0＜r＜3)，记点P的轨迹长度为f(r)，则f(1)＋f(2)＝________.答案3π解析如图，当r＝1时，点P在正方体表面上的轨迹分别是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧，分别为BD，1AB，1AD，则f(1)＝3×14×2π＝3π2，当r＝2时，点P在正方体表面上的轨迹为在平面A1B1C1D1上以A1为圆心，1为半径的11BD，在平面B1BCC1上为以B为圆心，1为半径的1BC，在平面DCC1D1上为以D为圆心，1为半径的1CD，则f(2)＝3×14×2π＝3π2，所以f(1)＋f(2)＝3π2＋3π2＝3π.题型三最值、范围问题例3(1)如图所示，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起，使平面ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A.16327B.539C．1D.34答案A解析取AC的中点O，连接D′O(图略)．设∠ABC＝α，α∈(0，π)，所以D′O＝AD′cosα2＝2cosα2，S△ABC＝12×2×2sinα＝2sinα.因为D′O⊥平面ABC，所以V四面体ABCD′＝13S△ABC×D′O＝43sinαcosα2＝83sinα2cos2α2＝83sinα2·1－sin2α20α2π2.设t＝sinα2，则0＜t＜1，V四面体ABCD′＝83(t－t3)．设f(t)＝83(t－t3)，0＜t＜1，则f′(t)＝83(1－3t2)，0＜t＜1.所以当0＜t＜33时，f′(t)＞0，f(t)单调递增；当33＜t＜1时，f′(t)＜0，f(t)单调递减．所以当t＝33时，f(t)取得最大值16327.所以四面体ABCD′体积的最大值为16327.(2)在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________．答案31111解析因为在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，所以AB⊥平面PAC，则BD与平面PAC所成的角为∠ADB，tan∠ADB＝ABAD＝3AD，当AD取得最小值时，∠ADB取得最大值．在等腰Rt△PAC中，当D为PC的中点时，AD取得最小值．以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0,1,1)，则AD→＝(0,1,1)，PC→＝(0,2，－2)，BC→＝(－3,2,0)．设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PC→＝0，n·BC→＝0，即2y－2z＝0，－3x＋2y＝0，令y＝3，得n＝(2,3,3)．因为cos〈n，AD→〉＝n·AD→|n||AD→|＝3＋322×2＝31111，所以AD与平面PBC所成角的正弦值为31111.思维升华在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．跟踪训练3(1)在四面体ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，则四面体ABCD体积的最大值是()A.2327B.13C.239D.33答案A解析如图，取AB的中点E，连接CE，DE，设AB＝2x(0＜x＜1)，则CE＝DE＝1－x2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君当平面ABC⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大，此时，四面体ABCD的体积V＝13×12×2x×1－x2×1－x2＝13x－13x3.所以V′＝13－x2，令V′＝0，得x＝33.当x∈0，33时，V单调递增，当x∈33，1时，V单调递减．故当x＝33时，V有最大值，Vmax＝13×33－13×333＝2327.(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点．若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是________，最大值是________．答案32452解析如图，取A1D1的中点N，A1B1的中点M，连接AM，AN，MN，NE，B1D1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，N分别为B1C1，A1D1的中点，∴EN∥A1B1∥AB，EN＝A1B1＝AB，∴四边形ABEN为平行四边形，∴AN∥BE，又AN⊄平面BEF，BE⊂平面BEF，∴AN∥平面BEF，∵E，F分别为B1C1，C1D1的中点，由中位线性质知EF∥B1D1，同理可知MN∥B1D1，∴MN∥EF，又MN⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴MN∥平面BEF，又AN∩MN＝N，AN，MN⊂平面AMN，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴平面AMN∥平面BEF，∵P是底面A1B1C1D1上一点，且AP∥平面BEF，∴P∈MN，在等腰△AMN中，当AP的长度最大时，P在M点或N点，即APmax＝AM＝AN＝12＋122＝52，当AP的长度最小时，P为MN的中点，MN＝22，∴AP＝AM2－MN22＝