2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.2　两条直线的位置关系

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.2两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②结论：|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l上．(√)教材改编题1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为()A．25B.55C.5D.255答案C解析点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝|2－10＋3|1＋4＝5.2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于()A．4B．－4C．1D．－1答案A解析因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以23＝m6≠1－1，解得m＝4.3．直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________．答案x＋2y－3＝0解析直线x－2y－3＝0的斜率为k＝12且与x轴交于点(3,0)，故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)，其方程为y＝－12(x－3)，即x＋2y－3＝0.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型一两条直线的平行与垂直例1(1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件．(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是()A．0或－1B．－1或1C．－1D．1答案A解析由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意．思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合答案B解析由题意可知，直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的斜率分别为－sinAa，bsinB，又在△ABC中，asinA＝bsinB，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以－sinAa·bsinB＝－1，所以两条直线垂直．(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.答案3或－217解析因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝17，经检验符合题意．题型二两直线的交点与距离问题例2(1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为()A．a＝6，d＝63B．a＝－6，d＝63C．a＝－6，d＝53D．a＝6，d＝53答案D解析依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行，得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0，即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，所以两直线间的距离d＝|9－4|62＋32＝53.(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为()A．y＝1B．x＝3C．y＝0D．x＝2答案AB解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时l与直线l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君且设直线l与直线l1和l2的交点分别为A，B.联立y－1＝kx－3，x＋y＋1＝0，得A3k－2k＋1，－4k＋1k＋1；联立y－1＝kx－3，x＋y＋6＝0，得B3k－7k＋1，－9k＋1k＋1.由|AB|＝5，得3k－2k＋1－3k－7k＋12＋－4k＋1k＋1－－9k＋1k＋12＝52，解得k＝0，即所求直线l的方程为y＝1.综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．跟踪训练2(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是()A．2x－3y＋5＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－2＝0D．3x＋2y＋1＝0答案D解析由2x－y＋3＝0，x＋2y－1＝0，解得x＝－1，y＝1，所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.(2)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为()A．3B．4C．2D．6答案B解析由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方，得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝|3＋0－13|32＋422＝4.题型三对称问题命题点1点关于点的对称问题例3直线3x－2y＝0关于点13，0对称的直线方程为()A．2x－3y＝0B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0D．2x－3y－2＝0公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案B解析方法一设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点13，0对称的点为23－x，－y，因为点23－x，－y在直线3x－2y＝0上，所以323－x－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.方法二在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)，设点O，M关于点13，0的对称点分别为O′，M′，则O′23，0，M′－43，－3，所以所求直线方程为y－－30－－3＝x－－4323－－43，即3x－2y－2＝0.命题点2点关于直线的对称问题例4(2022·太原模拟)已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．213B．9C.74D．10答案C解析依题意，设B(2,4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，∴n－4m－2＝－1，n＋42＝m＋22＋1，解得m＝3，n＝3，∴B′(3,3)，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，如图，在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与C′重合时取等号，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝－4－32＋8－32＝74，故|AC|＋|BC|的最小值为74.命题点3直线关于直线的对称问题例5两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为()A．3x－2y－4＝0B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0D．3x－2y－6＝0答案C解析设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，则y－y1x－x1＝－1，x＋x12－y＋y12－2＝0，解得x1＝y＋2，y1＝x－2，(*)∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，由已知条件得y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.∴A′－3313，413.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，得M′613，3013.设直线m与直线l的交点为N，由2x－3