2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.7　抛物线

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.7抛物线考试要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点p2，0－p2，00，p20，－p2准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(√)教材改编题1．抛物线x2＝14y的准线方程为()A．y＝－116B．x＝－116C．y＝116D．x＝116答案A解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为0，116，准线方程为y＝－116.2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6答案B解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．抛物线y2＝2px(p0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x答案B解析由题意可得|MF|＝xM＋p2，则3＋p2＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.题型一抛物线的定义及应用例1(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于()A．2B．22C．3D．32答案B解析方法一由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.设Ay204，y0，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则由抛物线的定义可知|AF|＝y204＋1.因为|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得y204＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．不妨取A(1,2)，则|AB|＝1－32＋2－02＝8＝22.方法二由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝22＋22＝8＝22.(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．答案42或22解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p＝42.当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得402＋20－p22＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.①②公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．跟踪训练1(1)已知抛物线y＝mx2(m0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为114，则m等于()A．4B．3C.14D.13答案D解析由题意知，抛物线y＝mx2(m0)的准线方程为y＝－14m，根据抛物线的定义，可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y＝－14m的距离，可得2＋14m＝114，解得m＝13.(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．答案34－4解析圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3,3)，半径r＝2，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，因为P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，所以要使d1＋d2最小，即P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，如图，连接PF，FC，则d1＋d2的最小值为|FC|减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即－3－22＋3－02－2－2＝34－4，所以d1＋d2的最小值为34－4.题型二抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝2py(p＞0)．又p2＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，则2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练2(1)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝9xC．y2＝92xD．y2＝3x答案D解析如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG，∴1p＝23，∴p＝32，因此抛物线的方程为y2＝3x.(2)(2022·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为22，则该抛物线的准线方程为()A．x＝－12B．x＝－1C．x＝－2D．x＝－4答案B解析抛物线y2＝2px(p0)的焦点Fp2，0，将点P的横坐标代入抛物线得y2＝16p，可得y＝±4p，不妨令P(8,4p)，则S△OFP＝12×p2×4p＝pp＝22，解得p＝2，则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.题型三抛物线的几何性质例3(1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于()A．6B．8C．9D．12答案D解析由题意得，F为△ABC的重心，故AF→＝23×12(AB→＋AC→)＝13(AB→＋AC→)，设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，∵抛物线y2＝8x，F为其焦点，∴F(2,0)，∴AF→＝(2－x1，－y1)，AB→＝(x2－x1，y2－y1)，AC→＝(x3－x1，y3－y1)，∵AF→＝13(AB→＋AC→)，∴2－x1＝13(x2－x1＋x3－x1)，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴x1＋x2＋x3＝6，∴|AF→|＋|BF→|＋|CF→|＝x1＋x2＋x3＋6＝12.(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线l的斜率为3且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是()A．p＝4B.DF→＝FA→C．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝4答案ABC解析如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为3，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则DF→＝FA→，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D错误．思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君为______．答案x＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以|OF||PF|＝|PF||FQ|，即p2p＝p6，解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的准线方程为x＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝p2×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－32.(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3FM→＝2MN→，则|FN|＝________.答案16解析易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，AF∥MB∥NC，则|MN||NF|＝|BM|－|CN||OF|，由3FM→＝2MN→，得|MN||NF|＝35，又|CN|＝4，|OF|＝4，所以|BM|－44＝35，|BM|＝325，|MF|＝|BM|＝325，|MF||NF|＝25，所以|FN|＝16.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君课时精练1．(2022·桂林模拟)抛物线C：y2＝－32x的准线方程为()A．x＝38B．x＝－38C．y＝38D．y＝－38答案A解析y2＝－32x的准线方程为x＝38.2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A．6B．4C．3D．2答案D解析由题可知，抛物线准线为y＝－p2，可得1＋p