2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.8直线与圆锥曲线的位置关系考试要求1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ0.特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．2．弦长公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)过点1，12的直线一定与椭圆x22＋y2＝1相交．(√)(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(×)(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(√)(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(√)教材改编题1．直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1有且只有一个交点，则k的值是()A.63B．－63C．±63D．±33公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案C解析由y＝kx＋2，x23＋y22＝1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±63.2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是()A．2B．4C．8D．16答案C解析联立y＝x－1，y2＝4x，消去y并整理得x2－6x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋1×36－4＝8.3．已知点A，B是双曲线C：x22－y23＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为()A.23B.32C.49D.94答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵点A，B是双曲线C上的两点，∴x212－y213＝1，x222－y223＝1，两式相减得x1＋x2x1－x22＝y1＋y2y1－y23，∵M(3,2)是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，∴6x1－x22＝4y1－y23，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝94.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(1)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y216＝1的交点有()A．1个B．至多1个C．2个D．0个答案C解析因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，所以9m2＋n23，即m2＋n29，所以m29＋n216≤m29＋n291，即点(m，n)在椭圆x29＋y216＝1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y216＝1的交点有2个．(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)无公共点，则双曲线的离心率可能为()A．1B.2C.62D.3答案BC解析双曲线的一条渐近线为y＝bax，因为直线y＝x与双曲线无公共点，故有ba≤1.即b2a2＝c2－a2a2＝e2－1≤1，所以e2≤2，所以1e≤2.思维升华(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．跟踪训练1(1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为()A．1B．2C．4D．8答案A公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析∵抛物线C：y2＝4x的准线为l，∴l的方程为x＝－1，A(－1,0)，设过点A作抛物线的一条切线为x＝my－1，m0，由x＝my－1，y2＝4x，得y2－4my＋4＝0，∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，∴△OAB的面积为12×1×2＝1.(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．答案(1,2)解析∵直线l的斜率kl＝tan60°＝3，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则ba3，∴e＝ca＝1＋b2a22，故1e2.题型二弦长问题例2(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，右焦点为F(2，0)，且离心率为63.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝3.(1)解由题意得，椭圆半焦距c＝2且e＝ca＝63，所以a＝3，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.(2)证明由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x0)相切可得|2k|k2＋1＝1，解得k＝±1，联立y＝±x－2，x23＋y2＝1，可得4x2－62x＋3＝0，所以x1＋x2＝322，x1x2＝34，所以|MN|＝1＋1·x1＋x22－4x1x2＝3，所以必要性成立；充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km0)，即kx－y＋m＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x0)相切可得|m|k2＋1＝1，所以m2＝k2＋1，联立y＝kx＋m，x23＋y2＝1，可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－6km1＋3k2，x1x2＝3m2－31＋3k2，所以|MN|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2－6km1＋3k22－4·3m2－31＋3k2＝1＋k2·24k21＋3k2＝3，化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以k＝1，m＝－2或k＝－1，m＝2，所以直线MN：y＝x－2或y＝－x＋2，所以直线MN过点F(2，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝3.思维升华(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．跟踪训练2已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，短轴长为23，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝1827，求直线l的方程．解(1)由2b＝23，a－c＝1，a2－c2＝b2，得b＝3，a＝2，c＝1，所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x24＋y23＝1，x＝my－1，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，即y1＋y2＝6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4.又S△BMN＝12|BF1|·|y1|＋12|BF1|·|y2|＝12|BF1|·|y1－y2|＝12|BF1|·y1＋y22－4y1y2＝18m2＋13m2＋4＝1827，解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型三中点弦问题例3(2023·衡水模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．解(1)因为离心率e＝ca＝22，所以a＝2c，因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝42，故椭圆C的标准方程为x232＋y216＝1.(2)由题意得，直线l的斜率存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2132＋y2116＝1，x2232＋y2216＝1，两式相减得x21－x2232＋y21－y2216＝0，所以y1－y2x1－x2＝－12·x1＋x2y1＋y2.因为AB的中点坐标为(－2,1)在椭圆内部，所以y1－y2x1－x2＝1，所以直线l的斜率为1，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.思维升华(1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．(2)点差法常用结论已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.若E的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则k＝－b2a2·x0y0；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君若E的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则k＝b2a2·x0y0；若E的方程为y2＝2px(p0)，则k＝py0.跟踪训练3(1)(2022·石家庄模拟)已知倾斜角为π4的直线与双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，相交于A，B两点，M(1,3)是弦AB的中点，则双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±3x解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x22＝1，y1＋y22＝3，y1－y2x1－x2＝1，由y21a2－x21b2＝1，y22a2－x22b2＝1，两式相减可得y1－y2y1＋y2a2－x1－x2x1＋x2b2＝0，则6a2－2b2＝0，即a2＝3b2，则a＝3b，则ab＝3，故双曲线的渐近线方程为y＝±3x.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为()A．(1，－1)B．(2,0)C.12，－32D．(1,1)答案A解析因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则y21＝2x1，y22＝2x2，则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，∴kPQ＝2y1＋y2，又∵P，Q关于直线l对称，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，∴PQ中点的纵坐标为y1＋y22＝－1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又∵PQ的中点在直线l上，∴PQ中点的横坐标为x1＋x22＝(－1)＋2＝1.∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．课时精练1．已知直线l：kx＋y＋1＝0，椭圆C：x216＋y24＝1，则直线l与椭圆C的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定答案C解析由直线l：kx＋y＋1＝0，得直线