2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　必刷小题15　直线与圆

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君必刷小题15直线与圆一、单项选择题1．(2023·无锡模拟)设m∈R，直线l1：(m＋2)x＋6y－2m－8＝0，l2：x＋2my＋m＋1＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若l1∥l2，则2mm＋2＝6，m＋1m＋2≠－2m＋8，解得m＝1或m＝－3，因此，“m＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．2．直线ax－y－2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝9的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定答案B解析直线ax－y－2a＝0(a∈R)，即a(x－2)－y＝0，由x－2＝0，y＝0，得x＝2，y＝0，所以直线恒过定点(2,0)，因为22＋029，所以定点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交．3．直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则()A．a0，b0B．a0，b0C．a0，b0D．a0，b0答案C解析因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，所以该直线的斜率－1a0，直线在y轴上的截距－ba0，可得a0，b0.4．(2023·重庆模拟)已知过点P(3,1)的直线l与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线x－my－1＝0垂直，则m等于()A．－12B.12C．－2D．2答案C公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析∵(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴点P在圆C上，∴kCP＝2－11－3＝－12，∴切线l的斜率为2，∵l与直线x－my－1＝0垂直，∴2×1m＝－1，解得m＝－2.5．(2022·呼和浩特模拟)已知圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常数)对称，则ab的最大值为()A.14B.12C．1D．2答案A解析因为圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1,0)，且圆x2＋2x＋y2＝0关于直线ax＋y＋1－b＝0(a，b为大于0的常数)对称，所以直线ax＋y＋1－b＝0过圆心(－1,0)，所以a＋b＝1，又a0，b0，所以ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b＝12时等号成立，即当a＝b＝12时，ab取最大值14.6．(2023·晋城模拟)已知圆C：x2＋y2＝1和直线l：x0x＋y0y＝1，则“点P(x0，y0)在圆C上”是“直线l与圆C相切”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若点P在圆C上，则x20＋y20＝1，圆心到直线l：x0x＋y0y＝1的距离d＝1x20＋y20＝1，此时直线l与圆C相切；若直线l与圆C相切，则d＝1x20＋y20＝1，即x20＋y20＝1，此时点P在圆C上．综上知，“点P(x0，y0)在圆C上”是“直线l与圆C相切”的充要条件．7．(2022·兰州模拟)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ0，且λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到点A(－1,0)，B(1,0)的距离之比为3，则点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为()A．25－3B.5－3C．25D.3公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析设C(x，y)，则|CA||CB|＝3，即x＋12＋y2x－12＋y2＝3，化简得(x－2)2＋y2＝3，所以点C的轨迹是以(2,0)为圆心，r＝3的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离d＝|2－2×0＋8|12＋－22＝25，所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为25－3.8．在平面直角坐标系中，已知点P(3，－1)在圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为8，则实数m的取值范围是()A．(3－23，3＋23)B．[1,5]C．(3－23，1]∪[5,3＋23)D．(－∞，1]∪[5，＋∞)答案C解析圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0，即圆C：(x－m)2＋(y－1)2＝16，即圆心为C(m,1)，r＝4，所以△ABC的面积为S△ABC＝12r2sin∠ACB＝8sin∠ACB≤8，当且仅当∠ACB＝π2，即△ABC为等腰直角三角形时等号成立，此时，|AB|＝42，圆心C到直线AB的距离为r2－|AB|22＝22，因为点P(3，－1)在圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0内，所以22≤|PC|4，即22≤m－32＋224，所以8≤(m－3)2＋416，解得3－23m≤1或5≤m3＋23，所以实数m的取值范围是(3－23，1]∪[5,3＋23)．二、多项选择题9．已知点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，则实数m的值可以是()A．－75B.75C．－95D.95答案AC解析因为点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0的距离相等，所以|2m＋3－3m＋1＋m－1|m＋32＋m＋12＝|4m＋3＋5m＋1＋m－1|m＋32＋m＋12，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君化简得|5m＋8|＝1，解得m＝－95或m＝－75.10．(2023·深圳模拟)动点P在圆C1：x2＋y2＝1上，动点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则下列说法正确的是()A．两个圆心所在的直线斜率为－43B．两个圆公共弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0C．两圆公切线有两条D．|PQ|的最小值为0答案AD解析圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径为r＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径为R＝4.两个圆心所在的直线斜率为－4－03－0＝－43，所以选项A正确；因为|C1C2|＝32＋－42＝5，R＋r＝5，所以两圆相外切，故没有公共弦，两圆的公切线有三条，当点P，点Q运动到切点时，|PQ|的最小值为0，因此选项B，C不正确，选项D正确．11．以下四个命题表述正确的是()A．若点(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋(m－1)y－m＋2＝0外，则实数m的取值范围为(－7，＋∞)B．圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x－y＋1＝0的距离等于2C．圆C1：x2＋y2－2x－4y－4＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0外切D．实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则yx－1的取值范围是－33，33答案AD解析点(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋(m－1)y－m＋2＝0外，则12＋22＋2＋2(m－1)－m＋20，得m－7，A选项正确；圆x2＋y2＝2的圆心为(0,0)，半径为2，因为圆心到直线l的距离为12＝22，所以圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x－y＋1＝0的距离等于22，B选项错误；C1的圆心为(1,2)，半径为3；C2的圆心为(－1，－1)，半径为2，所以圆心距为4＋9＝13≠3＋2，C选项错误；圆x2＋y2＋2x＝0的圆心为A(－1,0)，半径为1，yx－1表示圆上的点B(x，y)与点C(1,0)连线的斜率，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君当直线BC与圆A相切时，如图所示，AB＝1，AC＝2，所以∠BCA＝π6，结合对称性可知yx－1的取值范围是－33，33，D选项正确．12．已知点P(x，y)是圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，直线l：(1＋m)x＋(3m－1)y＋3－3m＝0，则下列结论正确的是()A．直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种B．圆C的圆心到直线l距离的最大值为2C．点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为2D．点P可能在圆x2＋y2＝1上答案ACD解析对于A选项，因为直线l的方程可化为x－y＋3＋m(x＋3y－3)＝0.令x－y＝－3，x＋3y＝3，解得x＝0，y＝3，所以直线l过定点Q(0，3)，直线l是过点Q的所有直线中除去直线x＋3y－3＝0外的所有直线，圆心C(1,0)到直线x＋3y－3＝0的距离为|1－3|1＋3＝12，即直线x＋3y－3＝0与圆C相交，又点Q(0，3)在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以直线l与C至少有一个公共点，所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种，A正确；对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B错误；对于C选项，因为圆心C到直线4x＋3y＋16＝0的距离d＝|4＋16|5＝4，所以圆C上的点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为4－2＝2，C正确；对于D选项，圆x2＋y2＝1的圆心为原点O，半径为1，因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C与圆O内切，故点P可能在圆x2＋y2＝1上，D正确．三、填空题13．若直线l1：3x＋y＋m＝0与直线l2：mx－y－7＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君________．答案10解析由题设得m＋3＝0，即m＝－3，所以l1：3x＋y－3＝0，l2：3x＋y＋7＝0，所以直线l1与l2之间的距离为|7－－3|10＝10.14．过点P(2,2)的直线l1与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则直线l1的方程为________________．答案3x－4y＋2＝0或x＝2解析当过点P(2,2)的直线l1斜率不存在时，l1的方程为x＝2，与圆(x－1)2＋y2＝1相切，满足题意；当过点P(2,2)的直线l1斜率存在时，设l1的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0，∴圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到l1的距离d＝|k－0－2k＋2|k2＋1＝1，解得k＝34，∴l1：34x－y＋12＝0，即3x－4y＋2＝0，综上，直线l1的方程为3x－4y＋2＝0或x＝2.15．与直线x－y－4＝0和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半径最小的圆的方程是________________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，则所求圆的圆心在此直线上，又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为62＝32，则所求圆的半径为2，设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x＋y＝0上，所以|a－b－4|2＝2，且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合题意，舍去)，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.16．(2023·大理模拟)设m∈R，直线l1：mx－y－3m＋1＝0与直线l2：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2上的一个动点，则|PQ|的最小值为________．答案2解析由题意得l1：(x－3)m＋(1－y)＝0，l2：(x－1)＋(y－3)m＝0，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴l1恒过定点M(3,1)，l2恒过定点N(1,3)，又l1⊥l2，∴P点轨迹是以|MN|为直径的圆，即以点(2,2)为圆心，以12×3－12＋1－32＝2为半径的圆，∴P点轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝2与圆C的圆心距d＝1＋22＋1＋22＝3222，∴两圆外离，∴|PQ|的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，即|PQ|min＝32－22＝2.