素养拓展1 柯西不等式（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）1.二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba2.二维形式的柯西不等式的变式bdacdcba2222)1(.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba2222)2(.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcba.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bcaddcbabdacdcba3.二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对222cba，并不是不等式的形状，但变成22222211131cba就可以用柯西不等式了。4.扩展：233221122322212232221)(nnnnbababababbbbaaaa，当且仅当nnbababa:::2211时，等号成立.【典例1】实数x、y满足422yx，则x+y的最大值是________.解：2222211yxyx，则28yx所以22yx，当且仅当2yx时等号成立.答案：22【典例2】（2019·全国高考真题）设,,xyzR，且1xyz.（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a或1a.【分析】(1)根据条件1xyz，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3xyz，再讨论,,xyz是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的二、题型精讲精练一、知识点梳理,,xyz代入原不等式，便可得到参数a的取值范围.【详解】(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4xyzxyzxyz故2224(1)(1)(1)3xyz等号成立当且仅当111xyz而又因1xyz，解得531313xyz时等号成立，所以222(1)(1)(1)xyz的最小值为43.(2)因为2221(2)(1)()3xyza，所以222222[(2)(1)()](111)1xyza.根据柯西不等式等号成立条件，当21xyza，即22321323axayaza时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)xyzaxyzaa成立.所以2(2)1a成立，所以有3a或1a.【题型训练1-刷真题】一、填空题1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量,,,(0)abcc满足1,2,0,0abababc.记向量d在,ab方向上的投影分别为x，y，da在c方向上的投影为z，则222xyz的最小值为___________.二、解答题2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：(1)23abc；(2)若2bc，则113ac．【题型训练2-刷模拟】1．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y、z满足23xyza（a为常数），求222xyz的最小值．2．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知,,Rabc，且满足236abc，求22223abc的最小值．3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知a，b，c是正实数，且3abc．求证：(1)1abc；(2)222446abc．4．（2023·江西吉安·统考一模）已,,abc均为正数，且4abc，证明：(1)2228497bca；(2)11198acabbc．5．（2023·全国·高三专题练习）已知,,abc均为正数，且满足2223abc.证明：(1)3abc„；(2)1113abc….6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设,,abc为正数，且1abc.(1)证明22213abc；(2)证明22212abcabcbccaab.7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知0,0,1abc，且222422abcc，证明：(1)24abc；(2)若2ab，则1131bc.二、单选题8．（2023·全国·高三专题练习）“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即abcd）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()254fxxx的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A．521,5B．213,5C．1361,13D．6129,139．（2023·浙江·统考一模）若sincossin2yxyx，则sinx的最小值是（）A．0B．23C．37D．12三、填空题10．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若⊙C：221xayb，⊙D：22684xy，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，MN最小值为4，则34ab取值范围为_________．11．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则sinsincos的范围是______________．12．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知正实数a，b满足1ab，则121aab的最小值为___________.