素养拓展2 不等式中的恒成立问题（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展02不等式中的恒成立问题（精讲+精练）1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！设函数()fx的值域为(,)ab或[,]ab，或(,]ab或[,)ab中之一种，则①若()fx恒成立（即()fx无解），则max[()]fx；②若()fx恒成立（即()fx无解），则min[()]fx；③若()fx有解（即存在x使得()fx成立），则min[()]fx；④若()fx有解（即存在x使得()fx成立），则max[()]fx；⑤若()fx有解（即()fx无解），则{|()}yyfx；⑥若()fx无解（即()fx有解），则{|()}uCyyfx．【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）2.分离参数的方法①常规法分离参数：如()()()()gxfxgxfx；②倒数法分离参数：如1()()()()fxfxgxgx；【当()fx的值有可能取到，而()gx的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】③讨论法分离参数：如:(),()0()()()(),()0()fxgxgxgxfxfxgxgx*(),(1)()()(),nfnnfnnNfnn为正偶数为正奇数④整体法分离参数：如2()fx；一、知识点梳理⑤不完全分离参数法：如2lnbxxxx；⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．【注意】（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】3.其他恒成立类型一①()fx在[,]ab上是增函数，则'()0fx恒成立．(等号不能漏掉)．②()fx在[,]ab上是减函数，则'()0fx恒成立．(等号不能漏掉)．③()fx在[,]ab上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)4.其他恒成立类型二①12,xAxB，使得方程21()()gxfx成立{|(),}{|(),}yyfxxAyygxxB．②12,xAxB，使得方程21()()gxfx成{|(),}{|(),}yyfxxAyygxxB．5.其他恒成立类型三①12,xAxB，121min2max()()()()fxgxfxgx；②12,xAxB，121min2min()()()()fxgxfxgx；③12,xAxB，121max2max()()()()fxgxfxgx；④12,xAxB，121max2min()()()()fxgxfxgx．【方法】处理1()fx时，把1()gx当常数；处理1()gx时，把1()fx当常数．思考：12()()0fxgx对12,xx的四种取值情形；或,()()xAfxgx；或,()()xAfxgx等又如何处理呢？【同理！】【典例1】正数,ab满足411ab，若不等式28mmab恒成立，则实数m的取值范围__________.二、题型精讲精练【分析】由不等式28mmab恒成立可得2min8mmab，利用基本不等式求ab的最小值，由此可求m的取值范围.【详解】因为不等式28mmab恒成立，所以2min8mmab，由411ab，0,0ab，可得41445529babaababababab，当且仅当6,3ab时等号成立，所以289mm，解得19m.所以m的取值范围为1,9.故答案为：1,9.【典例2】已知不等式20axbxc的解集为{23}xx∣，且对于1,5x，不等式220bxamxc恒成立，则m的取值范围为（）A．,43B．,43C．13,D．,13【答案】B【分析】由不等式的解集为{23}xx∣知可用a表示,bc，代入220bxamxc中并用参数分离与基本不等式求得m的取值范围.【详解】由不等式20axbxc的解集为{23}xx∣，可知2,3为方程20axbxc的两个根，故0a且231,236bcaa，即,6baca，则不等式220bxamxc变为2120axamxa，由于0,1,5ax，则上式可转化为12mxx在1,5恒成立，又1212243xxxx，当且仅当23x时等号成立，故43m.故选：B.【题型训练】1.基本不等式恒成立问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）当2x时，不等式12xax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．,2B．2,C．4,D．,42．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线2:ln3Cyxxax上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若32，则实数a的取值范围是（）A．23,0B．22,0C．,23D．,223．（2023·全国·高三专题练习）已知0,0xy且141xy，若28xymm恒成立，则实数m的取值范围是（）A．1|2xxB．|3xx}C．|1xxD．|91xx4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数xy、满足0xyxy，且0xy，若不等式490xyt恒成立，则实数t的最大值为（）A．9B．12C．16D．255．（2023·全国·高三专题练习）当02,xa不等式221112xax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．2,B．02，C．0,2D．2,6．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数,ab满足3ab，若55abab恒成立，则实数的取值范围为（）A．81,2B．27,4C．81,4D．27,27．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数,xy满足141xy，且不等式234yxmm恒成立，则实数m的取值范围（）A．4,1B．,14,C．1,4D．,14,8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数a，b满足111ab，若不等式222022baabmab恒成立，则m的最大值为（）A．94B．32C．2D．31049．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足3ab，若55abab恒成立，则实数的取值范围为（）A．81,2B．27,4C．81,4D．27,210．（2023·全国·高三专题练习）设正实数,xy满足1,12xy，不等式224121xymyx恒成立，则m的最大值为（）A．8B．16C．22D．42二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式110414mxx对104xxx恒成立，则实数m的值可以为（）A．1B．2C．4D．512．（2023·全国·高三专题练习）当0x，0y，Rm时，2222yxmmkxy恒成立，则k的取值可能是（）A．2B．1C．1D．2三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）abc，*Nn，且11nabbcac恒成立，则n的最大值为__．14．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知0,0ab，若不等式313mabab恒成立，则m的最大值为________．15．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式xyaxy对任给0x，0y恒成立，则实数a的取值范围是______.16．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于x的不等式4142xax对任意2x恒成立，则正实数a的取值集合为______．2.一元二次不等式恒成立问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）定义abadbccd，若关于x的不等式22xxax在1,上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．3,2B．3,2C．3,2D．3,22．（2023·全国·高三专题练习）数列na满足22nankn，若不等式4naa恒成立，则实数k的取值范围是（）A．9,8B．9,7C．9,8D．9,73．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式2680kxkxk对任意xR恒成立，则k的取值范围是（）A．01kB．01kC．0k或1kD．0k或1k4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的(1,4)x，不等式2220axx都成立，则实数a的取值范围是（）A．[1,)B．1,12C．1,2D．1,25．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数x及13t，均有22211()8xtxat，则实数a的取值范围是（）A．5,2,2B．35,,22C．33,2,2D．333,,226．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点(1,4)A在直线10,0xyabab上，若关于t的不等式253abtt恒成立，则实数t的取值范围为（）A．6,1B．1,6C．,16,D．,61,7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数212e1eaxHxmmx，若对任意的mR，当0x时，0Hx恒成立，则a的最小值是（）A．2eB．0C．1D．28．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若对xR，使得2222xxxa（0a且1a）恒成立，则实数a的值是（）A．2B．3C．2D．59．（2023·全国·高三专题练习）已知0a，bR，若0x时，关于x的不等式2250axxbx恒成立，则4ba的最小值为（）A．2B．25C．43D．3210．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数()fx的定义域为(,0)(0,)，且()fx为32(1)(3)3xaxax与lnxx中较大的数，()0fx恒成立，则a的取值范围为（）A．4,4B．23,C．23,23D．133133,22二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式22240xax对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是__________.12．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式2244xxaa在1,6内有解，则a的取值范围为________．13．（2023·全国·高三专题练习）若不等式2221xxmxmx＋－－对xR恒成立，则实数m的取值范围是________．14．（2023·全国·高三专题