专题1.1 集合（解析版）

专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1．（2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习）若2122aaa，，则实数a的值为______.【答案】2【分析】分1a，222aaa分别求解，再根据元素的互异性即可得答案.【详解】解：当1a时，则2221aa不满足元素的互异性，故1a；所以222aaa，解得:1a(舍)或2a，故实数a的值为2.故答案为：2.例2．（2022·上海·高一统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________【答案】7【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；故答案为：7.练习1．（2022秋·贵州·高三统考期中）若,,101aaa，则a__________.【答案】101.【分析】由集合相等和元素互异性，进行求解.【详解】由题意得101,101,aa所以101a.故答案为：-101.练习2．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）已知集合1,2,3,4,5,6A，,,,BxyxAyAxyA，则集合B中的元素个数为________．【答案】14【分析】根据元素特征，采用列举法表示出集合B，由此可得元素个数.【详解】由题意得：1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,B4,1,5,1,6,1，B中元素个数为14.故答案为：14.练习3．（2022秋·北京海淀·高三校考期中）设集合,Axy，20,Bx，若AB，则2xy______.【答案】2【分析】根据集合相等可得出关于x、y的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.【详解】由集合元素的互异性可知20x，则0x，因为AB，则200xxyx，解得10xy，因此，22xy.故答案为：2.练习4．（2021秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合2{,1,}Aab，2{,,0}Bab，若{1}AB，则a__________．【答案】1【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性求解即可.【详解】由集合2{,1,}Aab，2{,,0}Bab，若{1}AB，则集合B中21a或1b，若21a，则1a或1(a舍去)，此时1b且0b；若1b，则集合A中21b，不符合集合中元素的互异性，不成立，综上，1.a故答案为：1练习5．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成,,1baa，又可表示成2,,0aab，则20222022ab_____．【答案】1【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.【详解】因为2,,1,,0baaaba，显然0a，故0ba，则0b；此时两集合分别是2,1,0,,,0aaa，则21a，解得1a或1.当1a时，不满足互异性，故舍去；当1a时，满足题意.所以2022202220222022(1)01ab故答案为：1.题型二集合与集合之间的关系例3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合1,0,1A，,,BxxababA，则集合B的真子集个数是（）A．3B．4C．7D．8【答案】C【分析】根据题意得到集合B，然后根据集合B中元素的个数求集合B的真子集个数即可.【详解】由题意得1,0,1B，所以集合B的真子集个数为3217.故选：C.例4．（2021秋·高三课时练习）下列各式：①10,1,2，②10,1,2，③0,1,20,1,2，④0,1,2，⑤2,1,00,1,2，其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知10,1,2，故①错误；由集合与集合的关系可知10,1,2，故②错误；任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B．练习6．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合|15Axx，Z18Bxx.(1)求RAð(2)求AB的子集个数【答案】(1)R5Axxð或1x(2)8【分析】（1）根据补集的定义即可得解；（2）根据交集的定义求出AB，再根据子集的定义即可得解.【详解】（1）因为|15Axx，所以R5Axxð或1x；（2）Z182,3,4,5,6,7Bxx，所以2,3,4AB，所以AB的子集个数有328个.练习7．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合{A第一象限的角}，{B锐角}，{C小于90°的角}，给出下列四个命题；①ABC；②AC；③CA；④ACB.其中正确的命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【分析】根据任意角的定义和集合的基本关系求解.【详解】A{第一象限角}，只需要终边落在第一象限的都是属于第一象限角．B{锐角}，是指大于0而小于90的角．C{小于90的角}，小于90的角包括锐角，零角和负角．根据集合的含义和基本运算判断：①ABC，①错误；②AC，比如，361A，但361C，②错误；③CA，比如0C，但0A，③错误；④ACB，④错误；正确命题个数为0个．故选：A．练习8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合22,|4Axyxy，|,0Bxyxy，则A∩B的子集个数（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据集合A与集合B中方程的几何意义，利用直线过圆心判断直线与圆的位置关系，确定交集中元素的个数，进而求解.【详解】集合22,|4Axyxy表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合|,0Bxyxy表示直线0xy上的所有点，因为直线0xy经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以AB的元素个数有2个，则AB的子集个数为4个，故选：D.练习9．（2022秋·高三课时练习）设集合|MxxA，且}xB，若{1,3,5,6,7}A，{2,3,5}B，则集合M的非空真子集的个数为（）A．4B．6C．7D．15【答案】B【分析】求得集合M，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{MxxA∣且}{1,6,7}xB，其非空真子集的个数为3226.故选：B练习10．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A．空集没有子集B．21,2|320xxxC．2|,R|,RyyxxyyxxD．非空集合都有真子集【答案】BD【分析】根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，可判断出选项AD的正误；选项B，通过解方程，可求出集合2|320xxx中的元素，从而判断出选项B正确；选项C，通过求出两集合的元素满足的条件，从而判断出集合|,Ryyxx与2|,Ryyxx间的关系，从而判断出选项C错误.【详解】对于选项A，因为空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以选项A错误；对于选项B，由2320xx，得到1x或2x，所以2|3201,2xxx，所以选项B正确；对于选项C，因为|,RRyyxx，2|,R|0yyxxyy，所以2|,R|,Ryyxxyyxx，所以选项C错误；对于选项D，因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D正确.故选：BD题型三集合间的基本运算例5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合10,lg01xAxBxxx∣∣，则AB（）A．1,1B．0,1C．0,1D．0,1【答案】D【分析】先化简集合A，B，再利用交集运算求解.【详解】解：由题意得{11},{01}AxxBxx∣∣，0,1AB，故选：D.例6．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集|0Uxx，集合|20Axxx，则UAð（）A．(2,)B．[2,)C．,02,D．(,0][2,)【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用补集的定义求解作答.【详解】集合|20[0,2]Axxx，而全集[0,)U，所以(2,)UAð.故选：A练习11．（2023·全国·模拟预测）已知集合215AxxN，320Bxx，则AB（）A．0,1,2,3B．1,2,3C．1,2D．2,3【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】由条件可知，30,1,2AxxN，23203Bxxxx，所以{1,2}AB．故选：C.练习12．（江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学（理）试题）已知集合{2},{73}MxxNxx∣∣，则MN（）A．{3}xx∣B．{03}xx∣C．{73}xx∣D．{74}xx∣【答案】B【分析】根据集合交集运算可得.【详解】因为{2}{04},{73}MxxxxNxx∣∣∣所以{|03}MNxx.故选：B练习13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合12Axx，2,0,2xByyx，则（）A．1,3ABB．1,4ABC．1,4ABD．1,3AB【答案】C【分析】先解绝对值不等式得出集合，再根据交集并集概念计算求解即可.【详解】因为1213Axxxx，2,0,214xByyxyy，所以1,3AB，1,4AB.故选：C.练习14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集{|33}Uxx，集合2|20Axxx，则UAð（）A．(2,1]B．(3,2][1,3)C．[2,1)D．(3,1)(1,3)【答案】B【分析】计算21Axx，再计算补集得到答案.【详解】2|2021Axxxxx，则(3,2][1,3)UAð.故选：B练习15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合lg2Mxyx，e1xNyy，则MN（）A．,B．1,C．1,2D．2,【答案】B【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.【详解】集合lg2202Mxyxxxxx，即(2,)M，e11x，则(1,)N，所以1,MNU.故选：B题型四集合间的交并补混合运算例7．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）已知集合|12Mxx，1,0,1,2,3N＝，则RMNð（）A．0,1,2B．1,2C．1,0,1,2D．2,3【答案】A【分析】解出集合|1M