专题10.4 二项式定理（原卷版）

专题10.4二项式定理题型一利用二项展开式求指定项题型二利用二项展开式求有理项题型三两个多项式乘积的指定项题型四三项展开式的指定项题型五整除和余数问题题型六二项式系数之和及系数之和题型七奇（偶）项系数之和及绝对值型系数之和题型八二项式系数的最值及系数的最值题型九二项式与导数的交汇题型一利用二项展开式求指定项例1．二项式52x展开式中的含3x项的系数为_____．例2．已知多项式34761278(2)(1)(1)(1)1xxaxaxaxa，则7a_____.练习1．已知2nxy的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52xy项的系数为（）A．―4B．84C．―280D．560练习2．7()xa的展开式中3x的系数为560，则实数a的值为_____．练习3．已知多项式5625601256(2)(1)xxaaxaxaxax，则1a_____.练习4．若102910701291021111xxaaxaxaxax，则5a_____.练习5．已知二项式51Nnxnx展开式中含有常数项，则满足条件的一个n的值为_____．题型二利用二项展开式求有理项例3．已知*2nxxnN的展开式前三项的二项式系数的和等于16.(1)求n的值；(2)求展开式中所有的有理项.例4．在*413,2nxnnNx的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项．练习6．192x的展开式中所有有理项系数之和为（）A．19312B．18312C．19312D．19332练习7．已知42nxx的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项_____．练习8．（多选）二项式512xx的展开式中的有理项为（）A．10xB．80xC．280xD．532x练习9．（多选）6322xx展开式的有理项为（）A．364xB．80C．160xD．4x练习10．在22nxx的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12.(1)求n的值；(2)求展开式中所有的有理项.题型三两个多项式乘积的指定项例5．已知422xayxy的所有项的系数和为3，则23xy的系数为（）A．80B．40C．80D．40例6．5(23)xyxy的展开式中33xy的系数是_____.练习11．2621(1)xxx展开式中2x的系数是（）A．24B．9C．24D．9练习12．已知5221axxx的展开式中各项系数的和为4，则该展开式中3x的系数为_____.练习13．6111xxx的展开式常数项是_____.（用数字作答）练习14．已知4(1)(13)axx的展开式中x的系数为2，则实数a的值为_____．练习15．若*2,11N9nxxnnx的展开式中没有常数项，则n的可能取值是（）A．4B．5C．6D．7题型四三项展开式的指定项例7．5(21)xy展开式中含3xy项的系数为_____．例8．52123xx的展开式中5x的系数为_____．练习16．521xy展开式中24xy的系数为_____（用数字作答）．练习17．5431xxx的展开式的常数项为_____．练习18．在5(2)xyz的展开式中，形如3(,)mnxyzmnN的所有项系数之和是_____．练习19．已知23nxx的展开式中各项系数和为1024，则2nxxy展开式中不含52xy的所有项系数和等于_____.练习20．已知常数0m，621mxx的二项展开式中2x项的系数是780，则m的值为_____．题型五整除和余数问题例9．若1223310010010010010010013C3C3C3CS，且17Smn（,mnZ，且017n），则n（）A．1B．2C．15D．16例10．若20232202301220230122023(5),xaaxaxaxTaaaa，则T被5除所得的余数为_____．练习21．1098除以1000的余数是_____．练习22．108除以49所得的余数是_____.练习23．20242023被4除的余数为_____.练习24．若202464m能被13整除，则m的最小正整数取值为_____．练习25．011110291011111111C5C5C5C5被7除的余数是_____.题型六二项式系数之和及系数之和例11．已知*nN，201212nnnxaaxaxax，若12480aa，则该展开式各项的二项式系数和为（）A．81B．64C．27D．32例12．在3nxx的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为64，则3x的系数为_____.练习26．已知0a，二项式52axx的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）A．36B．30C．15D．10练习27．若6226016(1)xaaxaxax，则0126aaaa_____．练习28．（多选）已知12nxx的展开式的各二项式系数的和为256，则（）A．8nB．展开式中2x的系数为448C．展开式中常数项为16D．展开式中所有项的系数和为1练习29．（多选）在821x的展开式中，下列说法正确的有（）A．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128B．展开式中所有项的系数和为82C．展开式中含3x项的系数为448D．展开式中二项式系数的最大项为第四项练习30．1012xx的展开式中，各项的二项式系数和是_____，各项系数和是_____．题型七奇（偶）项系数之和及绝对值型系数之和例13．若6260126(21)1(1)(1)xaaxaxax，则0246aaaa_____.（用数字作答）例14．若42340123421xaaxaxaxax，请分别求出下列的值(1)01234aaaaa(2)01234aaaaa(3)1234234aaaa练习31．（多选）已知627012712xxaaxaxax，则（）A．064aB．163aC．0170aaaD．13571aaaa练习32．（多选）若2345501234512aaxaxaxaxaxx，则下列结论中正确的是（）A．01aB．532aC．50123453aaaaaaD．012345234510aaaaaa练习33．（多选）设72670126721xaaxaxaxax，则下列结论正确的是（）A．25588aaB．1271aaaC．71357132aaaaD．701273aaaa练习34．若122312012312231111xaaxaxaxax，则024681012aaaaaaa_____.练习35．设52345012345(12)xaaxaxaxaxax．求：(1)12345aaaaa的值；(2)135aaa的值；(3)12345aaaaa的值．题型八二项式系数的最值及系数的最值例15．(12)nx的展开式中二项式系数最大的为6Cn，则n不可能为（）A．10B．11C．12D．13例16．在8212xx的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项．练习36．（多选）关于10xy的说法正确的是（）．A．展开式中二项式系数之和为1024B．展开式中只有第6项的二项式系数最大C．展开式中只有第6项的系数最小D．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大练习37．（多选）已知n为满足0123272727272727CCCCC3Saa能被9整除的正整数a的最小值，则1nxx的展开式中，下列结论正确的是（）A．第7项系数最小B．第6项二项式系数最大C．第7项二项式系数最大D．第6项系数最小练习38．已知1(2+)nxx展开式前三项的二项式系数和为22.(1)求展开式中各项的二项式系数和；(2)求展开式中的常数项；(3)求展开式中二项式系数最大的项.练习39．在31naxx的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.(1)求n的值；(2)若展开式中的常数项为552，试求展开式中系数最大的项.练习40．已知二项式812xx．(1)求展开式中的有理项；(2)求展开式中系数最大的项．题型九二项式与导数的交汇例17．若0112nnnxaaxax，且01243naaa，则12323naaanaL=（）A．650B．405C．810D．1620例18．（多选）已知72701272111xmaaxaxax，若712027128222aaaa，则有（）A．2mB．3280aC．01aD．437125623456714aaaaaaa练习41．设100922201601220161xxaaxaxax，则0122016232017aaaa的值是（）A．1008B．1009C．2016D．2017练习42．已知0112nnnxaaxax，其中01243naaa，则0121231naaaanA．182B．1823C．913D．1829练习43．（多选）已知2023220230122023(31)xaaxaxax，则（）A．01aB．2023123202323202320232aaaaC．404601220232aaaaD．320231223202323333aaaa练习44．若5234501234523xaaxaxaxaxax，若1234523455aaaaaa（0a），则a_____.练习45．已知22012111nnnxxxaaxaxax，且121125naaan.(1)求n的值(2)求展开式中x的奇次项系数之和(3)求12323naaanaL的值