专题2.3 一元二次不等式与其他常见不等式（解析版）

专题2.3一元二次不等式与其他常见不等式题型一解不含参的一元二次不等式题型二分式不等式题型三绝对值不等式题型四指数，对数不等式题型五高次不等式题型六解含参的一元二次不等式题型七一元二次不等式的恒成立问题题型八一元二次不等式的有解问题题型九一元二次不等式的实际应用题型一解不含参的一元二次不等式例1．（2023·四川自贡·统考三模）已知集合120Axxx，集合2R219Bxx，则AB（）A．1,2B．1,2C．1,2D．1,2【答案】C【分析】先分别求出集合A,B,再根据并集的概念运算可得.【详解】因为1201,2Axxx，2R219R213R12Bxxxxxx，ABR12xx.故选：C.例2．（2021秋·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集：(1)23262xxx；(2)221332xxx【答案】(1)4xx或1x(2)【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】（1）原不等式整理得，2340xx，即140xx，解得4x或1x，原不等式的解集为4xx或1x（2）原不等式整理得，2590xx，2Δ5419110，原不等式的解集为.练习1．（2022秋·浙江温州·高一校考期中）不等式2450xx的解集为（）A．B．,15,C．1,5D．R【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】∵不等式2450xx，又162040，∴不等式2450xx的解集为.故选：A.练习2．（2023·北京·高三统考学业考试）不等式20x的解集是（）A．0xxB．0xxC．0xxD．0xx【答案】B【分析】由二次函数的性质，解二次不等式.【详解】当0x时，20x；当0x时，20x，所以不等式20x的解集是0xx.故选：B练习3．（2023·全国·高一专题练习）220xx的一个充分不必要条件是（）A．0xB．0xC．3xD．2x或2x【答案】C【分析】解不等式220xx，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式220xx可得2x或2x，因为3xx2xx或2x，故只有C选项中的条件才是“220xx”的充分不必要条件.故选：C.练习4．（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知集合2230Axxx，Bxyx，则AB（）A．3xxB．03xxC．1xxD．01xx【答案】B【分析】求解一元二次不等式化简集合A，利用被开方数大于零化简集合B，再利用交集的定义求解AB.【详解】化简集合13Axx，0Bxx，根据交集的定义，03ABxx.故选：B练习5．（河北省名校2023届高三5月模拟数学试题）设全集为R，集合2560Axxx，ln1Bxx，则RABð（）A．e,3B．,e3,C．,23,D．,e3,【答案】D【分析】根据一元二次不等式以及对数函数的单调性计算得出,AB，然后求出交集，根据集合的补集运算计算，即可得出答案.【详解】由已知可得25602,3Axxx，ln1e,Bxx，所以，e,3AB，所以RABð,e3,.故选：D.题型二分式不等式例3．（2023·上海·高三专题练习）已知10xAxx，1Bxx，则AB__________．【答案】1【分析】解不等式，再求交集.【详解】10xx等价于100xxx，解得01x，即01Axx.则AB1.故答案为：1例4．求关于x的不等式的解集：(1)2112xx…；(2)221xx．【答案】(1)2xx或3x(2){|01}xx【分析】（1）先通分，将分式不等式等价转化为二次不等式即可求解；【详解】（1）2121210222xxxxxx，即302xx，等价于32020xxx，解得2x或3x，故2112xx…的解集为2xx或3x；（2）不等式221xx可化为22(1)01xxx，也即01xx，所以10(1)0xxx，解得：01x，所以原不等式的解集为{|01}xx.练习6．已知全集UR，集合2314xAxx，253Bxx，则AB______，AB______.【答案】{4xx∣或1}x4xx∣或32x【分析】先由分式不等式求法求解出集合A,结合绝对值不等式解法求出集合B,然后结合集合的交集与并集运算即可求得答案.【详解】由2314xx得23104xx,整理得2304xx,解得4x或32x≤,即{4Axx∣或32x因为{|253}{253Bxxxx∣或253}{4xxx∣或1}x所以{4ABxx∣或1}x;4ABxx∣或32x.故答案为：{4xx∣或1}x;4xx∣或32x.练习7．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）全集UR，设集合213,2601xAxBxxxx，则UABð（）A．32,2B．(2,1]C．(2,1)D．【答案】B【分析】解分式不等式与一元二次不等式求得集合A与集合B，运用集合的补集、交集计算即可.【详解】因为(24)(1)011243300210?               111xxxxxxxxxx或1x，所以{|2Axx或1}x，所以U{|21}Axxð，又因为2326022xxx，所以3{|2}2Bxx，所以U{|21}ABxxð.故选：B.练习8．（2022秋·云南昆明·高三统考期末）写出一个11x的充分条件________．【答案】10,2（答案不唯一）【分析】解不等式11x得01x，只要找01x的一个子集即可.【详解】11x等价于110x，即10xx，则(1)0xx，解得01x，所以01x的一个充分条件是10,2，故答案为：10,2（答案不唯一）.练习9．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集UR，集合0.5log1Axx，2511xBxx，则UABð（）A．12xxB．12xxC．12xxD．14xx【答案】C【分析】可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】集合0.51122log1loglog202Axxxxxx，2525411004111xxxBxxxxxxxx或1x；14UBxxð；则UABð12xx．故选：C练习10．已知集合21,RAxxx，30,R1xBxxx，求AB．【答案】[1,3).【分析】解含绝对值符号的不等式化简集合A，解分式不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】依题意，解不等式|2|1x，得121x，解得13x，则[1,3]A，解不等式301xx，得(3)(1)0xx，解得13x，则(1,3)B，所以[1,3)AB.题型三绝对值不等式例5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合22xAx，12Bxx，则AB（）A．,3B．1,1C．1,3D．3,【答案】C【分析】先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】依题意得1Axx，13Bxx，所以1,3AB．故选：C．例6．（2023·全国·模拟预测）已知集合6,7,8,9A，13322Bxx，则RABð的非空真子集的个数为（）A．14B．6C．7D．8【答案】B【分析】由绝对值不等式化简集合B,进而由集合的交补运算即可化简R6,7,8ABð即可求解.【详解】由13322x可得13322x或13322x，故集合{|5Bxx或8}x，所以R5,8Bð，所以R6,7,8ABð，所以RABð的非空真子集的个数为3226.故选：B.练习11．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式12x的解集是（）A．13xxB．13xxC．1xx或3xD．1xx或3x【答案】A【分析】由绝对值不等式的解法解原不等式即可得解.【详解】由12x可得212x，解得13x，故原不等式的解集为13xx.故选：A.练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合21Axx，13Bxx，则AB（）A．21xxB．4xxC．14xxD．2xx【答案】C【分析】分别化简集合,AB，由集合的交集运算即可得出结论.【详解】由题意可得1Axx，24Bxx，则14ABxx．故选：C.练习13．（2023·上海·高三专题练习）若不等式21x，则x的取值范围是____________．【答案】13xx【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.【详解】∵21x，则121x，解得13x，∴x的取值范围是13xx.故答案为：13xx.练习14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知全集N||3|3Uxx，集合1,2S，集合3,4T，则USTð等于（）A．5B．1,2C．3,4D．1,2,3,4【答案】A【分析】计算1,2,3,4,5U，1,2,3,4ST，再计算补集得到答案.【详解】N||3|31,2,3,4,5Uxx，1,2,3,4ST，U5STð.故选：A练习15．（2023·河南新乡·统考三模）已知集合3Axx，2,BxxxZ，则AB（）A．0,3B．{0,3}C．{0,1,2,3}D．3,4【答案】C【分析】根据题意求集合,AB，进而求AB.【详解】因为33Axx∣，{0,1,2,3,4}B，所以{0,1,2,3}AB.故选：C.题型四指数，对数不等式例7．（2023·浙江·高三专题练习）若集合13Axx，|28xBx，则AB（）A．(2,4)B．(2,3)C．(0,4)D．(0,3)【答案】B【分析】首先解绝对值不等式求出集合A、再解指数不等式求出集合B，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由13x可得313x，解得24x，所以13|24Axxxx，由28x，可得322x，所以3x，即|28|3xBxxx，所以2,3AB.故选：B例8．（2023·全国·模拟预测）