专题3.1 函数的概念及其表示（解析版）

专题3.1函数的概念及其表示题型一已知函数解析式求定义域题型二识别函数及相同函数题型三抽象函数的定义域题型四待定系数法求解析式题型五换元法求解析式题型六赋值思想求解析式题型七单调性法求函数的值域与最值题型八基本不等式法求函数的值域与最值题型九分离变量法求函数的值域与最值题型十分段函数求自变量或函数值题型十一分段函数及图象的应用题型一已知函数解析式求定义域例1．（2023·河北·统考模拟预测）设全集{}2,1,0,1,2U=--，集合1Nlg22Axyxx，则UAð（）A．2,1,2B．2,2C．D．2,1,0,2【答案】A【分析】由定义域得到0,1A，从而求出补集.【详解】由题意得，2020xx，解得22x，因为Nx，所以0,1A，故2,1,2UAð．故选：A．例2．（2023春·江西·高一校联考期中）函数2tan1lg1fxxx的定义域为______.【答案】π,14【分析】根据代数式有意义，可得2tan1010xx，进而结合正切函数的图象及性质和一元二次不等式求解即可.【详解】由2tan1010xx，解得ππππ,Z4211kxkkx，所以π14x，即函数fx的定义域为π,14.故答案为：π,14.练习1．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）函数1122fxxx的定义域为（）A．(,2)(2,)B．(,2)(2,2)C．(,2)D．(,2)【答案】B【分析】根据函数的具体形式，直接列式求函数的定义域.【详解】根据函数形式可知，函数的定义需满足2020xx，解得：2x且2x，所以函数的定义域为(,2)(2,2).故选：B练习2．（2023·北京朝阳·二模）函数21()1xfxx的定义域为________.【答案】1xx【分析】解不等式10x即可得函数的定义域.【详解】令2101xx，可得10x，解得1x.故函数21()1xfxx的定义域为1xx.故答案为:1xx.练习3．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）求函数2lgsin12cos2yxx的定义域为__________________.【答案】π3π2π2π,Z34xkxkk【分析】根据对数以及根式的性质，转化成三角函数的不等式，由三角函数的性质即可求解.【详解】2lgsin12cos2yxx的定义域需要满足2sin0212cos0xx，即2sin21cos2xx，所以π3π2π2π44π5π2π2π33kxkkxk，其中Zk，即π3π2π2πZ34kxk,k+?+?，故答案为：π3π2π2π,Z34xkxkk.练习4．（2023春·广东河源·高三龙川县第一中学校考期中）求函数2()12cosln(sin)2fxxx的定义域为_________．【答案】π3π{|2π2π,Z}34xkxkk【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.【详解】函数2()12cosln(sin)2fxxx有意义，则12cos02sin02xx，即1cos22sin2xx，解1cos2x，得π5π2π2π,Z33kxkk，解2sin2x，得π3π2π2π,Z44kxkk，于是π3π2π2π,Z34kxkk，所以所求定义域为π3π{|2π2π,Z}34xkxkk.故答案为：π3π{|2π2π,Z}34xkxkk练习5．（2022秋·高三单元测试）函数22313xxy的定义域为________．【答案】[1,3]【分析】根据根式的性质有223130xx，利用指数函数的单调性解不等式求定义域即可.【详解】由题设223130xx，即2230313xx，所以223(1)(3)0xxxx，可得13x，故函数定义域为[1,3].故答案为：[1,3]题型二识别函数及相同函数例3．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）下列各图中，不可能是函数()fx图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据函数的定义，可得答案.【详解】对于C，当0,x时，任意x对应两个y，显然C错误.故选：C.例4．（2022秋·山东东营·高三利津县高级中学校考阶段练习）下列四组函数中fx与gx是同一函数的是（）A．fxx，2xgxxB．2lgfxx，2lggxxC．fxx，2gxxD．12xfx，12gxx【答案】C【分析】根据函数的定义域、对应关系等知识确定正确答案.【详解】A选项，fxx的定义域是R，2xgxx的定义域是|0xx，所以不是同一函数.B选项，2lgfxx的定义域是|0xx，2lggxx的定义域是|0xx，所以不是同一函数.C选项，2gxxxfx，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一函数.D选项，12xfx的定义域是R，12gxx的定义域是|0xx，所以不是同一函数.故选：C练习6．（2022秋·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）设集合{|04}Pxx，{|04}Qyy，则下列图象能表示集合P到集合Q且集合Q为值域的函数关系的有（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由已知结合函数的定义分别检验各选项即可判断.【详解】对于A,由函数的定义知A的定义域不是P，不符合题意；对于B,B的值域不是Q，不符合题意；对于C,C中集合P中有的元素在集合Q中对应两个函数值,不符合函数定义;对于D,能表示集合P到集合Q的函数关系.故选:D.练习7．（2023春·福建莆田·高三校考期中）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（）A．33xyx与33xyxB．e,Rxyx与e,RtstC．2,0,1yxx与,0,1yxxD．1y与0yx【答案】D【分析】分别判断函数的定义域和对应关系，判断两个函数是否是同一函数.【详解】对于A选项，33xyx的定义域是3030xx，解得：33x，所以33xyx的定义域是3,3，33xyx的定义域是303xx，解得：33x，所以33xyx的定义域是3,3，并且3333xxxx，所以两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是同一函数；对于B选项，exy，ety，两个函数的定义域相同，都是R，对应法则也相同，所以是同一函数；对于C选项，两个函数的定义域相同，当0x与1x时，2xx，故两个函数对应法则也相同，所以是同一函数；对于D选项，1y的定义域是R，0yx的定义域是0xx，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：D练习8．（2022秋·黑龙江鸡西·高一校考阶段练习）对于函数:fAB，若aA，则下列说法正确的个数为（）①faB②fa有且只有一个③若fafb，则ab④若ab，则fafbA．4B．3C．2D．1【答案】B【分析】根据函数的基本概念判断即可.【详解】解：对于函数:fAB，若aA，bA，则根据函数的定义可得faB，且fa唯一；故有若ab，有fafb，故①②④正确；若fafb，则不一定ab，如2fxx，则111ff，但11，故③错误；故说法正确的个数为3.故选：B.练习9．（2021秋·广西崇左·高三崇左高中校考期中）下列函数中，与函数3fxx是同一函数的是（）A．yxxB．yxxC．yxxD．yxx【答案】A【分析】先求出函数的定义域，进而将函数的解析式化简，最后得到答案.【详解】由题意，300xx，则函数fx的定义域为,0，所以3fxxxx，所以与3fxx是同一函数的是yxx.故选：A.练习10．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考阶段练习）（多选）下列对应法则f满足函数定义的有（）A．2fxxB．212fxxxC．21fxxD．221fxxx【答案】BD【分析】利用换元法结合函数的定义逐项分析判断.【详解】对A：令2tx，则2xt或2xt，∴对于自变量t对应两个函数值2xt、2xt，A错误；对B：令1tx，则1xt，221211ftttt，∴对于自变量t对应唯一的函数值21t，B正确；对C：令21tx，则txt或txt，∴对于自变量t对应两个函数值tt、tt，C错误；对D：令22txx，即211tx，则11xt，即1ftt，∴对于自变量t对应唯一的函数值1t，D正确；故选：BD.题型三抽象函数的定义域例5．（2022秋·高三单元测试）若函数21yfx的定义域为1322，，则函数yfx的定义域为（）A．11，B．12，C．01，D．02，【答案】D【分析】定义域为x的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案.【详解】由题意得1322x，，故210,2x，故函数yfx的定义域为02，.故选：D例6．已知函数yfx的定义域为12，，求函数21yfx的定义域.【答案】2,2【分析】根据抽象函数的定义域求法即可解决【详解】∵函数yfx的定义域为12，∴21x[]12,?，解之得：2,2x故函数21yfx的定义域为：2,2练习11．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）函数fx的定义域为0,1，值域为1,2，那么函数2fx的定义域和值域分别是（）A．0,1，4,2B．2,3，3,4C．2,1，3,4D．2,1，1,2【答案】D【分析】根据复合函数的定义域和值域求解即可.【详解】因为函数fx的定义域为0,1，所以021x，所以21x，所以函数2fx的定义域2,1.将函数yfx的图象向左平移2个单位，可得2yfx的图象，故其值域不变．故选：D.练习12．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知函数1fx的定义域为[1,7]，则函数2(2)9hxfxx的定义域为（）A．[4,16]B．(,1][3,)C．[1,3]D．[3,4]【答案】C【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.【详解】函数1fx的定义域为[1,7]，则218x，因此在(2)fx中，228x，函数2(2)9hxfxx有意义，必有222890xx，解得13x，所以函数()hx的定义域为[1,3].故选：C练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数yfx的定义域为8,1，则函数212fxgxx的定义域（）A．9,22,02UB．8,22,1UC．,22,3D．9,22【答案】A【分析】根据抽象函数