专题3.4 二次函数与幂函数（解析版）

专题3.4二次函数与幂函数题型一二次函数的图象题型二二次函数的单调性题型三二次函数在区间上的最值问题题型四二次函数恒成立问题题型五幂函数的定义题型六判断幂函数的图象题型七根据幂函数的单调性比较大小题型八根据幂函数的单调性求参数题型九根据幂函数的单调性解不等式题型一二次函数的图象例1．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知a，b，c成等比数列，则二次函数22yaxbxc的图像与x轴的交点个数是___________.【答案】1【分析】根据题意有2bac，再借助二次函数的判别式判断交点个数【详解】a，b，c成等比数列,则2bac，224440bacacac，则二次函数的图像与x轴有1个交点，故答案为：1.例2．（2021秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）二次函数2(0)yaxbxca的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．（1）,ab异号；（2）当1x和3x时，函数值相等；（3）40ab；（4）当4y时，x的取值只能为0.【答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：2,0,(6,0)是二次函数与x的两个交点，所以可得对称轴方程为2x，故对称轴为22bxa，故,ab异号且40ab，（1）（3）正确；因为对称轴为22bxa，故当1x和3x时，函数值相等，当4y时，x的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.故答案为：3.练习1．（2022秋·辽宁·高三校联考阶段练习）若二次函数2yaxbxc的图像如图所示，则一元二次不等式20cxbxa的解集为（）A．()1,2-B．1,12C．11,2D．1,2【答案】C【分析】根据图像求得,,abc，进而求得一元二次不等式20cxbxa的解集.【详解】由图像可得当0x时，2yc，所以二次函数22yaxbx，由于二次函数22yaxbx图像过点1,0,2,0，所以204220abab，解得1,1ab，所以一元二次不等式2210xx，即2212110xxxx的解集为11,2.故选：C练习2．（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考期中）若函数2()10fxxmx恒满足(2)()fxfx对称，则实数m的取值为______【答案】2【详解】根据(2)()fxfx确定函数图象的对称轴，结合二次函数对称轴方程即可求得答案.函数2()10fxxmx恒满足(2)()fxfx对称，则2()10fxxmx图象关于直线1x对称，则1,22mm，故答案为：2练习3．（2022秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）（多选）二次函数221yxax的图像恒在x轴上方的一个必要条件是（）A．1122aB．11aC．12aD．1a【答案】BD【分析】先由二次函数图象性质得出图像恒在x轴上方的充要条件，再根据必要条件定义即可求.【详解】二次函数221yxax的图像恒在x轴上方的充要条件为22401,1aa，又1,11,1,1,11,，所以必要条件为11a、1a.故选：BD练习4．（2020秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知()()2yxaxb，且,是方程0y的两根，则,,,ab大小关系可能是（）A．abB．abC．abD．ab【答案】D【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.【详解】()()()2fxxaxb，由题意得，()()20fafb，而()()0ff，借助图象可知，,,,ab的大小关系可能是ab，故选：D.练习5．（2022秋·安徽合肥·高三中国科技大学附属中学校考阶段练习）已知函数21fxaxbxc的部分图象如图所示，则abc（）A．6B．6C．3D．3【答案】C【分析】由图可得方程20axbxc的两根为2和4，利用根与系数的关系结合(3)1f列式求得,,abc的值，则答案可求.【详解】由直线2x，4x，知224axbxcaxx，又由二次函数2yaxbxc的对称性和图象知顶点为3,1，所以32340a，解得1a，由20xbxc得6b，8c，则3abc．故选：C.题型二二次函数的单调性例3．（2021秋·江苏苏州·高三统考期中）已知函数22fxmxxm在1,上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．0,1B．0,1C．1,D．,1【答案】B【分析】分0m、0m两种情况讨论，在0m时，直接验证即可；在0m时，利用二次函数的单调性可得出关于实数m的不等式组，综合可得出实数m的取值范围.【详解】当0m时，函数2fxx在1,上单调递增，合乎题意；当0m时，则二次函数22fxmxxm图象的对称轴方程为1xm，若函数22fxmxxm在1,上单调递增，则011mm，解得01m.综上所述，实数m的取值范围是0,1.故选：B.例4．（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）设fx是定义在1,2a上偶函数，则22fxaxbx在区间0,2上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．与a，b有关，不能确定【答案】B【分析】根据偶函数的特点解出,ab，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.【详解】fx是定义在1,2a上偶函数，∴定义域关于原点对称，即120a，∴3a，则22232fxaxbxxbx，由()()fxfx，即223232xbxxbx，解得0b，∴2()32fxx，函数图像抛物线开口向下，对称轴为0x，则函数在区间0,2上是减函数．故选：B．练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()(21)1fxxax在区间,2单调递减，则实数a的取值范围为__．【答案】3,2【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知2122a，然后求出a的取值范围即可.【详解】易知二次函数2()(21)1fxxax的单调递减区间为21,2a，又因为函数2()(21)1fxxax在区间,2单调递减，所以21,2,2a，即2122a，解得32a.故答案为：3,2.练习7．（2022秋·海南·高三嘉积中学校考期中）已知23,1,1axaxfxxx在R上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．1,3B．1,3C．,3D．3,【答案】B【分析】由一次函数、二次函数的性质及分段函数的单调性列不等式组求参数范围.【详解】由2yx在[1,)上递减，要使()fx在R上递减，所以30231aa，可得13a.故选：B练习8．（2023秋·吉林·高三吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数21fxxkx在区间1,2上是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．,21,B．4,2C．,42,D．2,1【答案】C【分析】根据二次函数的性质可得22k或12k，解出即可得出实数k的取值范围.【详解】函数21fxxkx的对称轴为2kx.若函数21fxxkx在区间1,2上单调递减，则应有22k，所以4k；若函数21fxxkx在区间1,2上单调递增，则应有12k，所以2k.综上所述，实数k的取值范围是4k或2k.故选：C.练习9．（2022秋·江苏连云港·高三统考期中）（多选）已知函数2(1)4fxx，则（）A．fx是R上的偶函数B．()2yfxx是R上的偶函数C．fx在区间(,1]上单调递减D．当1,2x时，|()|yfx的最大值是4【答案】BCD【分析】由条件求出函数fx的解析式，根据偶函数的定义判断A，根据二次函数的性质判断函数fx的单调性，判断C，求函数fx在1,2x上的值域，判断D，根据偶函数的定义判断函数()2yfxx的奇偶性.【详解】因为2(1)4fxx，将x变换为1x可得2()14fxx，因为1044f，1440f，11ff，所以函数fx不是R上的偶函数，A错误；因为2()14fxx，由二次函数性质可得函数fx在区间(,1]上单调递减，C正确；由12x，可得211x，所以2014x，所以当1,2x时，40fx，所以函数|()|yfx在1,2上的最大值是4，D正确，设2gxfxx，则23gxx，所以2233gxxxgx，所以函数()2yfxx是R上的偶函数，B正确；故选：BCD.练习10．（2023春·广西南宁·高三校考开学考试）函数245yxx的单调减区间为______；【答案】,5【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令245uxx，则245yxx可以看作是由yu与245uxx复合而成的函数.令2450uxx，得5x或1x.易知245uxx在,5上是减函数，在1,上是增函数，而yu在0,上是增函数，所以245yxx的单调递减区间为,5.故答案为：,5.题型三二次函数在区间上的最值问题例5．（2022·高三单元测试）已知函数2()2(fxxmxmmR)．当[1,1]x时，设()fx的最大值为M，则M的最小值为（）A．14B．0C．14D．1【答案】C【分析】由题设()fx在(,)m上递增，在(,)m上递减，讨论m与区间[1,1]的位置关系求()fx的最大值，进而判断最大值M的最小值.【详解】由22()()fxxmmm，故()fx在(,)m上递增，在(,)m上递减，当1m，则[1,1]x上递减，故最大值(1)10Mfm，当11m，则最大值22111()()[,2)244Mfmmmm，当m1，则[1,1]x上递增，故最大值(1)312Mfm，综上，M的最小值为14.故选：C例6．（2023·全国·高一专题练习）函数241fxxx在区间,1Rttt上的最大值为gt．求gt的解析式；【答案】2222,1,3,12,41,2,tttgttttt【分析】首先求函数的对称轴，再讨论对称轴和定义域端点的关系，再结合函数的单调性求函数的最大值，即可求解.【详解】224123fxxxx当12t，即1t时，fx在区间,1tt上为增函数，2122gtfttt当21tt，即12t时，23gtf；当2t时，fx在区间,1tt上为减函数，241gtfttt综上所述，2222,1,3,12,41,2,tttgttttt.练习11．（2023秋·河北承德·高三统考期